トップ› 東北大学› 1975年› 文系第2問

東北大学 1975年文系第2問解説

方針・初手

対数の底と真数に文字が含まれているため、まずは底の条件と真数条件を確認する。第2式に着目すると、$\log_x y$ と $\log_y x$ は互いに逆数の関係にあるため、置換によって $\log_x y$ の値を求めることができる。その後、第1式の両辺の対数をとり、求めた $\log_x y$ の値を用いて $x$ と $y$ の連立方程式に帰着させる。

解法1

対数の底および真数の条件より、

$$ x > 0, \quad x \neq 1 $$

$$ y > 0, \quad y \neq 1 $$

が成り立つ。第2式について、底の変換公式より $\log_y x = \frac{1}{\log_x y}$ であるから、与式は次のように変形できる。

$$ \log_x y + \frac{1}{\log_x y} = \frac{13}{6} $$

両辺に $6\log_x y$ を掛けて整理すると、

$$ 6(\log_x y)^2 - 13\log_x y + 6 = 0 $$

$$ (2\log_x y - 3)(3\log_x y - 2) = 0 $$

ゆえに、$\log_x y = \frac{3}{2}$ または $\log_x y = \frac{2}{3}$ となる。

次に第1式について、両辺の底を $x$ とする対数をとると、

$$ \log_x(x^y) = \log_x(y^x) $$

$$ y = x\log_x y $$

ここで、先ほど求めた $\log_x y$ の値で場合分けを行う。

(i) $\log_x y = \frac{3}{2}$ のとき

対数の定義より、

$$ y = x^{\frac{3}{2}} $$

一方、第1式から導いた関係式に $\log_x y = \frac{3}{2}$ を代入すると、

$$ y = \frac{3}{2}x $$

これらを連立すると、

$$ x^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2}x $$

$x > 0$ であるから、両辺を $x$ で割って、

$$ x^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2} $$

両辺を2乗して、

$$ x = \frac{9}{4} $$

これは $x > 0, \ x \neq 1$ を満たす。このとき、

$$ y = \frac{3}{2} \cdot \frac{9}{4} = \frac{27}{8} $$

となり、これも $y > 0, \ y \neq 1$ を満たす。

(ii) $\log_x y = \frac{2}{3}$ のとき

対数の定義より、

$$ y = x^{\frac{2}{3}} $$

一方、第1式から導いた関係式に $\log_x y = \frac{2}{3}$ を代入すると、

$$ y = \frac{2}{3}x $$

これらを連立すると、

$$ x^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{3}x $$

$x > 0$ であるから、両辺を $x^{\frac{2}{3}}$ で割って、

$$ 1 = \frac{2}{3}x^{\frac{1}{3}} $$

$$ x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{2} $$

両辺を3乗して、

$$ x = \frac{27}{8} $$

これは $x > 0, \ x \neq 1$ を満たす。このとき、

$$ y = \frac{2}{3} \cdot \frac{27}{8} = \frac{9}{4} $$

となり、これも $y > 0, \ y \neq 1$ を満たす。

(i), (ii) より、求める解は、

$$ (x, y) = \left(\frac{9}{4}, \frac{27}{8}\right), \left(\frac{27}{8}, \frac{9}{4}\right) $$

解説

対数を含む方程式の典型的な処理を組み合わせた問題である。最初に対数の底の条件と真数条件を明記することが重要であり、これを怠ると最終的な解の吟味で不十分な解答となる恐れがある。第2式から $\log_x y$ の2次方程式を導き値を求める操作、および第1式の両辺の対数をとって指数部分を変数として下ろす操作は、いずれも定石通りである。