東北大学 2015年 文系 第3問 解説

方針・初手

2次方程式が実数解をもつかどうかは判別式で決まる。また、解の積は係数から

$$ \alpha \beta=\frac{2p_3}{2p_1}=\frac{p_3}{p_1} $$

と表せる。

したがって、（1） では判別式 $D$ の条件を調べ、（2） では 「虚数解をもつ条件」$D<0$ と 「$\alpha\beta=1$ の条件」$\dfrac{p_3}{p_1}=1$ を同時に満たす場合を数えればよい。

解法1

全部で、サイコロ3回の出方は

$$ 6^3=216 $$

通りである。

（1） 実数解をもつ確率

方程式

$$ 2p_1x^2+p_2x+2p_3=0 $$

の判別式は

$$ D=p_2^2-4\cdot 2p_1 \cdot 2p_3 =p_2^2-16p_1p_3 $$

である。

実数解をもつための必要十分条件は

$$ D\geqq 0 $$

すなわち

$$ p_2^2 \geqq 16p_1p_3 $$

である。

ここで $1\leqq p_2\leqq 6$ なので

$$ p_2^2\leqq 36 $$

である。したがって

$$ 16p_1p_3\leqq 36 \quad\Longrightarrow\quad p_1p_3\leqq 2 $$

でなければならない。

$p_1,p_3$ はともに $1$ 以上の整数であるから、可能なのは

$$ (p_1,p_3)=(1,1),(1,2),(2,1) $$

のみである。

(i)

$(p_1,p_3)=(1,1)$ のとき

$$ D=p_2^2-16 $$

より、$D\geqq 0$ となるのは

$$ p_2=4,5,6 $$

の3通り。

(ii)

$(p_1,p_3)=(1,2),(2,1)$ のとき

$$ D=p_2^2-32 $$

より、$D\geqq 0$ となるのは

$$ p_2=6 $$

のみで、それぞれ1通りずつ。

よって有利な場合の総数は

$$ 3+1+1=5 $$

通りである。

したがって求める確率は

$$ \frac{5}{216} $$

である。

（2） 実数でない2つの複素数解をもち、かつ $\alpha\beta=1$ となる確率

解と係数の関係より

$$ \alpha\beta=\frac{2p_3}{2p_1}=\frac{p_3}{p_1} $$

であるから、

$$ \alpha\beta=1 $$

となるための必要十分条件は

$$ p_3=p_1 $$

である。

また、実数でない2つの複素数解をもつための必要十分条件は

$$ D<0 $$

すなわち

$$ p_2^2-16p_1p_3<0 $$

である。

ここで $p_1=p_3$ とおくと、$p_1=p_3=k\ (1\leqq k\leqq 6)$ と書けて、

$$ D=p_2^2-16k^2 $$

となる。したがって条件は

$$ p_2^2<16k^2 \quad\Longleftrightarrow\quad p_2<4k $$

である。

(i)

$k=1$ のとき

$$ p_2<4 $$

より

$$ p_2=1,2,3 $$

の3通り。

(ii)

$k=2,3,4,5,6$ のときは $4k\geqq 8$ であり、$p_2\leqq 6$ だから $p_2=1,2,3,4,5,6$ の6通りすべてが条件を満たす。

よって有利な場合の総数は

$$ 3+5\cdot 6=33 $$

通りである。

したがって求める確率は

$$ \frac{33}{216}=\frac{11}{72} $$

である。

解説

この問題の要点は、2次方程式の性質をそのまま係数条件に言い換えることである。

（1） では判別式

$$ D=p_2^2-16p_1p_3 $$

を見ると、$p_2^2$ の最大値が $36$ しかないため、$p_1p_3$ がかなり小さくないと実数解をもてないことがすぐ分かる。ここで場合を大きく絞れるのが重要である。

（2） では $\alpha\beta=1$ を解の積で処理すると、$p_1=p_3$ という単純な条件に落ちる。その上で虚数解の条件 $D<0$ を組み合わせれば、あとは整数の個数を数えるだけになる。

答え

$$ \text{(1)}\ \frac{5}{216} $$

$$ \text{(2)}\ \frac{11}{72} $$