東北大学 2017年 文系 第4問 解説

方針・初手

各人が取り出す 3 枚は、順序を区別しなければ ${}_{6}\mathrm{C}_{3}=20$ 通りあり、いずれも同様に確からしい。

したがって、まず 3 枚の組合せごとに得点を整理するのが自然である。特に、0 を含むかどうかで得点の定義が変わるので、そこを分けて数える。

解法1

1 人分の 3 枚の取り出し方と得点を整理する。

0 を含む場合は、残り 2 枚の和が得点であるから、

$$ \begin{aligned} \{0,1,2\}&\to 3,\\ \{0,1,3\}&\to 4,\\ \{0,1,4\},\{0,2,3\}&\to 5,\\ \{0,1,5\},\{0,2,4\}&\to 6,\\ \{0,2,5\},\{0,3,4\}&\to 7,\\ \{0,3,5\}&\to 8,\\ \{0,4,5\}&\to 9 \end{aligned} $$

となる。

また、0 を含まない場合は 3 枚の平均が得点であるから、

$$ \begin{aligned} \{1,2,3\}&\to 2,\\ \{1,2,4\}&\to \frac73,\\ \{1,2,5\},\{1,3,4\}&\to \frac83,\\ \{1,3,5\},\{2,3,4\}&\to 3,\\ \{1,4,5\},\{2,3,5\}&\to \frac{10}{3},\\ \{2,4,5\}&\to \frac{11}{3},\\ \{3,4,5\}&\to 4 \end{aligned} $$

となる。

（1） 少なくとも一方が 0 を取り出し、しかも双方とも得点が 3 になる確率

得点が 3 になる組合せは

$$ \{0,1,2\},\ \{1,3,5\},\ \{2,3,4\} $$

の 3 通りである。

このうち 0 を含むのは $\{0,1,2\}$ の 1 通りである。よって、A 君・B 君がともに得点 3 になる組合せは $3\times 3=9$ 通りあり、そのうち「少なくとも一方が 0 を取り出す」ものは

$$ 9-2\times 2=5 $$

通りである。ここで $2\times 2$ は、両者とも 0 を含まない得点 3 の場合 $\{1,3,5\},\{2,3,4\}$ の組合せ数である。

全事象は $20\times 20=400$ 通りなので、求める確率は

$$ \frac{5}{400}=\frac{1}{80} $$

である。

（2） A 君の得点が整数でなく、かつ、B 君の得点より大きい確率

A 君の得点が整数でないのは

$$ \frac73,\ \frac83,\ \frac{10}{3},\ \frac{11}{3} $$

のときであり、それぞれの通り数は順に

$$ 1,\ 2,\ 2,\ 1 $$

である。

そこで、A 君の得点ごとに、B 君がそれより小さい得点をとる通り数を数える。

（i） A 君の得点が $\dfrac73$ のとき

B 君の得点がこれより小さいのは $2$ のみで、1 通り。

したがって 1 通り。

（ii） A 君の得点が $\dfrac83$ のとき

B 君の得点がこれより小さいのは

$$ 2,\ \frac73 $$

であり、通り数は

$$ 1+1=2 $$

である。A 君側は 2 通りあるから、合計

$$ 2\times 2=4 $$

通り。

（iii） A 君の得点が $\dfrac{10}{3}$ のとき

B 君の得点がこれより小さいのは

$$ 2,\ \frac73,\ \frac83,\ 3 $$

であり、通り数は

$$ 1+1+2+3=7 $$

である。A 君側は 2 通りあるから、合計

$$ 2\times 7=14 $$

通り。

（iv） A 君の得点が $\dfrac{11}{3}$ のとき

B 君の得点がこれより小さいのは

$$ 2,\ \frac73,\ \frac83,\ 3,\ \frac{10}{3} $$

であり、通り数は

$$ 1+1+2+3+2=9 $$

である。A 君側は 1 通りなので、合計 9 通り。

以上より、条件を満たす組合せ総数は

$$ 1+4+14+9=28 $$

通りである。

したがって求める確率は

$$ \frac{28}{400}=\frac{7}{100} $$

である。

解説

この問題では、3 枚を取り出す順序は得点に影響しないので、順列ではなく組合せ ${}_{6}\mathrm{C}_{3}$ で考えるのが本質である。

また、0 を含む場合と含まない場合で得点の定義が異なるため、最初に 20 通りすべての得点を整理しておくと、その後の確率計算が機械的に進む。

（1）では「得点が 3 になる組合せ」を先に特定するのが最短である。

（2）では A 君の得点が非整数に限られるので、その値ごとに場合分けし、「B 君がそれより小さい得点をとる通り数」を累積的に数えるとミスが少ない。

答え

$$ \text{(1)}\ \frac{1}{80} $$

$$ \text{(2)}\ \frac{7}{100} $$