東北大学 2013年 文系 第3問 解説

方針・初手

このゲームでは、各人は自分の出目の累積和だけを見ればよい。したがって、$A$ の出目列と $B$ の出目列を分けて考えると整理しやすい。

また、「$B$ がちょうど $n$ 回投げて……」という条件は、$B$ の $n$ 回目の直前までゲームが終わっていないことと、$B$ の $n$ 回目でどうなるかを条件として書き直すと数えやすい。

解法1

(1)

$B$ がちょうど1回投げて勝つ確率

$B$ が1回目で勝つには、$B$ の1回目の出目が $6$ でなければならない。

ただし、その前に $A$ が最初の1回で $6$ を出すとその時点でゲーム終了であるから、$A$ の1回目は $6$ 以外である必要がある。

したがって求める確率は

$$ \frac{5}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{5}{36} $$

である。

(2)

$B$ がちょうど2回投げて勝つ確率

このときの進行は

$$ A_1,\ B_1,\ A_2,\ B_2 $$

である。

$B_2$ までゲームが続き、そこで初めて $B$ が勝つための条件は次の2つである。

• $A$ は2回投げ終わった時点でもまだ勝っていない
• $B$ は1回目では勝っておらず、2回目までの合計で $6$ 以上になる

まず、$A$ が2回投げても勝っていない条件は

$$ A_1+A_2\le 5 $$

である。$(A_1,A_2)$ の総数は $36$ 通りであり、和が $5$ 以下となるのは

$$ (1,1), $$

$$ (1,2),(2,1), $$

$$ (1,3),(2,2),(3,1), $$

$$ (1,4),(2,3),(3,2),(4,1) $$

の $10$ 通りである。したがって

$$ P(A_1+A_2\le 5)=\frac{10}{36}=\frac{5}{18} $$

である。

次に、$B$ がちょうど2回目で勝つ条件は

$$ B_1+B_2\ge 6,\quad B_1\le 5 $$

である。$(B_1,B_2)$ の数を数えると、

• $B_1=1$ のとき $B_2=5,6$ の2通り
• $B_1=2$ のとき $B_2=4,5,6$ の3通り
• $B_1=3$ のとき 4通り
• $B_1=4$ のとき 5通り
• $B_1=5$ のとき 6通り

よって合計は

$$ 2+3+4+5+6=20 $$

通りである。したがって

$$ P(B_1+B_2\ge 6,\ B_1\le 5)=\frac{20}{36}=\frac{5}{9} $$

である。

$A$ 側と $B$ 側の出目は独立であるから、求める確率は

$$ \frac{5}{18}\cdot \frac{5}{9}=\frac{25}{162} $$

である。

(3)

$B$ がちょうど2回投げて、その時点でゲームが終了していない確率

$B$ が2回投げ終わった時点でもゲームが終わっていないとは、その時点で

$$ A_1+A_2\le 5,\quad B_1+B_2\le 5 $$

が同時に成り立つことである。

それぞれの確率は、上で数えた通り

$$ P(A_1+A_2\le 5)=\frac{10}{36},\quad P(B_1+B_2\le 5)=\frac{10}{36} $$

である。

したがって求める確率は

$$ \frac{10}{36}\cdot \frac{10}{36} =\frac{100}{1296} =\frac{25}{324} $$

である。

解説

この問題の要点は、ゲーム全体をそのまま追うのではなく、$A$ の累積和と $B$ の累積和を別々に見て条件を整理することである。

特に （2） では、「$B$ が2回目で勝つ」という条件を「$A$ は2回終わっても未勝利」と「$B$ は2回目までで勝利」に分けると、独立性が使えて計算が大幅に簡単になる。

また、2回までの和が $5$ 以下となる組の個数

$$ 1+2+3+4=10 $$

は今後も頻出する数え方である。

答え

$$ \text{(1)}\ \frac{5}{36},\qquad \text{(2)}\ \frac{25}{162},\qquad \text{(3)}\ \frac{25}{324} $$