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東北大学 2015年文系第4問解説

方針・初手

まず $f(t)=-4t^3+(a+3)t$ を $0\le t\le 1$ で最大化する。導関数

$$ f'(t)=a+3-12t^2 $$

を見れば、極大点が区間内にあるかどうかで $M(a)$ は場合分けされる。

その後、$g(x)=M(x)^2$ を明示して、接線が原点を通る条件 $g(s)=s g'(s)$ を用いる。最後は

$$ k=\frac{M(a)}{\sqrt a} $$

を場合分けした式に直して最小値を調べればよい。

解法1

（1） $M(a)$ を求める

$$ f'(t)=a+3-12t^2,\qquad f''(t)=-24t $$

である。$0<t\le 1$ では $f''(t)<0$ だから、$f$ は上に凸であり、極大点を高々1つもつ。

$f'(t)=0$ より

$$ t=\sqrt{\frac{a+3}{12}} $$

を得る。

この点が区間 $[0,1]$ に入るのは

$$ \sqrt{\frac{a+3}{12}}\le 1 \iff a+3\le 12 \iff a\le 9 $$

のときである。

したがって、最大値は次のように場合分けされる。

(i)

$0<a\le 9$ のとき

極大点 $t=\sqrt{\dfrac{a+3}{12}}$ が区間内にあるので、

$$ M(a)=f\left(\sqrt{\frac{a+3}{12}}\right) $$

である。計算すると、

$$ \begin{aligned} M(a) &=-4\left(\frac{a+3}{12}\right)^{3/2} +(a+3)\left(\frac{a+3}{12}\right)^{1/2} \\ &=\left(\frac{a+3}{12}\right)^{1/2} \left{-4\cdot \frac{a+3}{12}+(a+3)\right} \\ &=\left(\frac{a+3}{12}\right)^{1/2}\cdot \frac{2(a+3)}{3} \\ &=\frac{(a+3)^{3/2}}{3\sqrt3}. \end{aligned} $$

(ii)

$a\ge 9$ のとき

$f'(t)=a+3-12t^2\ge a+3-12=a-9\ge 0$ であり、$[0,1]$ で単調増加である。よって最大値は $t=1$ でとるから、

$$ M(a)=f(1)=-4+(a+3)=a-1. $$

以上より、

$$ M(a)= \begin{cases} \dfrac{(a+3)^{3/2}}{3\sqrt3} & (0<a\le 9),\\[1.2ex] a-1 & (a\ge 9). \end{cases} $$

（2）接点の $s$ と接線の傾きを求める

$g(x)=M(x)^2$ であるから、（1）の結果より

$$ g(x)= \begin{cases} \dfrac{(x+3)^3}{27} & (0<x\le 9),\\[1.2ex] (x-1)^2 & (x\ge 9). \end{cases} $$

したがって、

$$ g'(x)= \begin{cases} \dfrac{(x+3)^2}{9} & (0<x\le 9),\\[1.2ex] 2(x-1) & (x\ge 9). \end{cases} $$

点 $(s,g(s))$ における接線は

$$ y=g'(s)(x-s)+g(s) $$

である。これが原点を通る条件は、$(0,0)$ を代入して

$$ 0=-s g'(s)+g(s) $$

すなわち

$$ g(s)=s g'(s) $$

である。

(i)

$0<s\le 9$ のとき

$$ \frac{(s+3)^3}{27}=s\cdot \frac{(s+3)^2}{9} $$

より、$(s+3)^2>0$ なので両辺を割って

$$ s+3=3s $$

となる。よって

$$ s=\frac32. $$

このとき接線の傾きは

$$ g'\left(\frac32\right) =\frac{\left(\frac32+3\right)^2}{9} =\frac{\left(\frac92\right)^2}{9} =\frac94. $$

(ii)

$s\ge 9$ のとき

$$ (s-1)^2=s\cdot 2(s-1) $$

である。$s\ge 9$ だから $s-1>0$ であり、両辺を $s-1$ で割ると

$$ s-1=2s $$

となるが、これは

$$ s=-1 $$

を与え、条件 $s\ge 9$ に反する。したがってこの範囲に解はない。

よって、

$$ s=\frac32 $$

であり、接線の傾きは

$$ \frac94 $$

である。

（3） $k=\dfrac{M(a)}{\sqrt a}$ の最小値を求める

(i)

$0<a\le 9$ のとき

$$ k=\frac{(a+3)^{3/2}}{3\sqrt3\,\sqrt a}. $$

最小値を調べるため、$k>0$ なので $k^2$ を考える。

$$ k^2=\frac{(a+3)^3}{27a}. $$

ここで

$$ h(a)=\frac{(a+3)^3}{a} $$

とおくと、

$$ \begin{aligned} h'(a) &=\frac{3(a+3)^2\cdot a-(a+3)^3}{a^2} \\ &=\frac{(a+3)^2(2a-3)}{a^2}. \end{aligned} $$

したがって、$0<a\le 9$ において $h(a)$、ひいては $k^2$ は

$0<a<\dfrac32$ で減少
$a>\dfrac32$ で増加

する。よってこの範囲での最小値は $a=\dfrac32$ でとる。

そのとき

$$ k^2= \frac{\left(\frac32+3\right)^3}{27\cdot \frac32} ================================================ # \frac{\left(\frac92\right)^3}{\frac{81}{2}} \frac94, $$

ゆえに

$$ k=\frac32. $$

(ii)

$a\ge 9$ のとき

$$ k=\frac{a-1}{\sqrt a} =\sqrt a-\frac{1}{\sqrt a}. $$

これを微分すると

$$ \frac{d}{da}\left(\sqrt a-\frac{1}{\sqrt a}\right) =\frac{1}{2\sqrt a}+\frac{1}{2a^{3/2}}>0, $$

したがって $a\ge 9$ で単調増加である。よってこの範囲での最小値は $a=9$ のときで、

$$ k=\frac{9-1}{3}=\frac83. $$

比較すると

$$ \frac32<\frac83 $$

であるから、全体の最小値は