東北大学 2017年 文系 第3問 解説

方針・初手

$a$ は $3$ で割り切れないから、$a=3b+c$ とおくと $c=1,2$ のいずれかである。

（1）は $c=2$ のときに $a=3b+2$ を代入して、そのまま $2a+1$ を $a$ と $3$ の式に分解すればよい。

（2）は、$2a-2,\ 2a-1,\ 2a$ の3つがいずれも $as+3t$ の形に書けることを示せばよい。3個の連続する整数がその形で書ければ、そこから $3$ の倍数を足して、すべての $n\ge 2a-2$ を表せる。

解法1

(1)

$c=2$ であるから、

$$ a=3b+2 $$

である。したがって

$$ a+1=3b+3=3(b+1) $$

となるので、

$$ 2a+1=a+(a+1)=a+3(b+1) $$

と書ける。よって

$$ s=1,\quad t=b+1 $$

である。

(2)

$a=3b+c$ とおき、$c=1,2$ の場合に分ける。

(i)

$c=1$ のとき

このとき

$$ a=3b+1 $$

であるから、

$$ \begin{aligned} 2a-2&=2(3b+1)-2=6b=a\cdot 0+3(2b),\\ 2a-1&=2(3b+1)-1=6b+1=a\cdot 1+3b,\\ 2a&=2(3b+1)=6b+2=a\cdot 2+3\cdot 0. \end{aligned} $$

よって $2a-2,\ 2a-1,\ 2a$ はいずれも $as+3t$ の形に表せる。

ここで $n\ge 2a-2$ とする。3個の連続する整数 $2a-2,\ 2a-1,\ 2a$ は、$3$ で割った余りがそれぞれ異なる。したがって、この3数のうち $n$ と同じ余りをもつものを $m$ とおけば、

$$ n-m=3k $$

となる負でない整数 $k$ が存在する。

また $m=as_0+3t_0$ と書けるので、

$$ n=m+3k=as_0+3(t_0+k) $$

となる。$t_0+k\ge 0$ であるから、$n=as+3t$ を満たす負でない整数 $s,t$ が存在する。

(ii)

$c=2$ のとき

このとき

$$ a=3b+2 $$

であるから、

$$ \begin{aligned} 2a-2&=2(3b+2)-2=6b+2=a\cdot 1+3b,\\ 2a-1&=2(3b+2)-1=6b+3=a\cdot 0+3(2b+1),\\ 2a&=2(3b+2)=6b+4=a\cdot 2+3\cdot 0. \end{aligned} $$

よってこの場合も $2a-2,\ 2a-1,\ 2a$ はいずれも $as+3t$ の形に表せる。

したがって（i）と全く同様に、任意の $n\ge 2a-2$ に対し、この3数のうち $n$ と同じ余りをもつものを $m$ とおけば、

$$ n-m=3k\quad (k\ge 0) $$

と書ける。さらに $m=as_0+3t_0$ であるから、

$$ n=as_0+3(t_0+k) $$

となり、負でない整数 $s,t$ が存在する。

以上より、どちらの場合にも $n=as+3t$ を満たす負でない整数 $s,t$ が存在する。

解説

この問題の要点は、$a$ が $3$ と互いに素であることを使い、$as+3t$ の形で表せる数を余り $0,1,2$ の各場合で1つずつ確保することである。

実際、$2a-2,\ 2a-1,\ 2a$ という3つの連続整数がすべて $as+3t$ の形に書ければ、それ以降の数はそこに $3$ の倍数を足すことで全部表せる。（2）はこの発想が本質である。

答え

(1)

$$ s=1,\quad t=b+1 $$

(2)

任意の整数 $n\ge 2a-2$ に対して、$n=as+3t$ を満たす負でない整数 $s,t$ が存在する。