東北大学 2025年 文系 第1問 解説

方針・初手

1回の試行で点 $P$ が動く量に注目する。

硬貨が表なら $+1$、裏のときはさいころの奇偶で $+1$ または $-2$ になるので、結局1回ごとの移動量は

• $+1$ となる確率
• $-2$ となる確率

の2通りに整理できる。これを用いて、$n$ 回後に原点に戻る条件を「$-2$ が何回出るか」で数え上げればよい。

解法1

1回の試行による移動量を $X$ とする。

硬貨が表のときは確率 $\dfrac12$ で $X=1$ である。

硬貨が裏のときは確率 $\dfrac12$ であり、そのうちさいころが奇数なら確率 $\dfrac12$ で $X=1$、偶数なら確率 $\dfrac12$ で $X=-2$ である。

したがって

$$ P(X=1)=\frac12+\frac12\cdot\frac12=\frac34 $$

$$ P(X=-2)=\frac12\cdot\frac12=\frac14 $$

である。

よって、各試行は独立に

• 確率 $\dfrac34$ で $+1$
• 確率 $\dfrac14$ で $-2$

だけ進む試行とみなせる。

（1） 3回繰り返した後

3回のうち、$-2$ が $k$ 回出たとする。すると $+1$ は $3-k$ 回出るから、移動距離の合計は

$$ (3-k)-2k=3-3k $$

となる。

原点にもどるには

$$ 3-3k=0 $$

より

$$ k=1 $$

でなければならない。

したがって、3回のうちちょうど1回だけ $-2$ が出ればよい。その確率は

$$ {}_{3}\mathrm{C}_{1}\left(\frac14\right)\left(\frac34\right)^2 =3\cdot\frac14\cdot\frac{9}{16} =\frac{27}{64} $$

である。

（2） 6回繰り返した後

同様に、6回のうち $-2$ が $k$ 回出たとすると、移動距離の合計は

$$ (6-k)-2k=6-3k $$

である。

原点にもどるには

$$ 6-3k=0 $$

より

$$ k=2 $$

である。

したがって、6回のうちちょうど2回だけ $-2$ が出ればよい。その確率は

$$ {}_{6}\mathrm{C}_{2}\left(\frac14\right)^2\left(\frac34\right)^4 =15\cdot\frac1{16}\cdot\frac{81}{256} =\frac{1215}{4096} $$

である。

（3） $n$ 回繰り返した後（$n$ は 3 で割り切れる正の整数）

$n$ 回のうち $-2$ が $k$ 回出たとすると、$+1$ は $n-k$ 回出るから、移動距離の合計は

$$ (n-k)-2k=n-3k $$

である。

原点にもどる条件は

$$ n-3k=0 $$

すなわち

$$ k=\frac n3 $$

である。

ここで $n$ は 3 で割り切れるから、$\dfrac n3$ は整数である。したがって、原点にもどるのは $n$ 回のうちちょうど $\dfrac n3$ 回だけ $-2$ が出る場合である。

よって求める確率は

$$ {}_{n}\mathrm{C}_{n/3}\left(\frac14\right)^{n/3}\left(\frac34\right)^{2n/3} $$

である。

解説

この問題の本質は、試行の定義が少し複雑でも、最終的な1回ごとの移動量は $+1$ と $-2$ の2通りに整理できる点にある。

そのうえで、$-2$ を $k$ 回出したときの合計移動距離が $n-3k$ になることを押さえれば、原点に戻るためには $k=\dfrac n3$ でなければならないことがすぐ分かる。

つまり、原点に戻れるのは試行回数が3の倍数のときに限られ、その場合は「$-2$ が何回出るか」を二項分布的に数えればよい。

答え

$$ \text{(1)}\ \frac{27}{64} $$

$$ \text{(2)}\ \frac{1215}{4096} $$

$$ \text{(3)}\ {}_{n}\mathrm{C}_{n/3}\left(\frac14\right)^{n/3}\left(\frac34\right)^{2n/3} $$

である。