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東北大学 1976年理系第4問解説

方針・初手

(1) は反復試行の確率の基本問題である。$2n$ 回の試行で点 $P$ が座標 2 にあるということは、表が何回、裏が何回出ればよいかを立式して求める。(2) は (1) で求めた $p_n$, $q_n$ を代入し、対数の性質を用いてシグマ計算を行う。階乗の形で書かれた組合せの式を整理することで、きれいに約分されることに気づくのがポイントである。

解法1

(1)

1回の試行で、表が出て $+1$ 進む確率は $\frac{1}{2}$、裏が出て $-1$ 進む確率は $\frac{1}{2}$ である。

$2n$ 回の試行のうち、表が $k$ 回出たとすると、裏は $2n-k$ 回出る。このときの点 $P$ の座標は $k \times 1 + (2n-k) \times (-1) = 2k - 2n$ となる。これが 2 になるので、

$$ 2k - 2n = 2 $$

$$ k = n+1 $$

したがって、$p_n$ は $2n$ 回の試行で表が $n+1$ 回、裏が $n-1$ 回出る確率であるから、

$$ p_n = {}_{2n}\mathrm{C}_{n+1} \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = {}_{2n}\mathrm{C}_{n+1} \left(\frac{1}{2}\right)^{2n} $$

次に $q_n$ について考える。 $2n-1$ 回目に点 $P$ の座標が 1 となり、かつ $2n$ 回目に表が出て座標が 2 となる確率が $q_n$ である。 $2n-1$ 回の試行のうち、表が $l$ 回出たとすると、裏は $2n-1-l$ 回出る。このときの点 $P$ の座標が 1 になるので、

$$ l - (2n-1-l) = 1 $$

$$ 2l - 2n + 1 = 1 $$

$$ l = n $$

よって、$2n-1$ 回目までに表が $n$ 回、裏が $n-1$ 回出て、最後の $2n$ 回目に表が出る確率が $q_n$ となる。

$$ q_n = {}_{2n-1}\mathrm{C}_{n} \left(\frac{1}{2}\right)^{n} \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \times \frac{1}{2} = {}_{2n-1}\mathrm{C}_{n} \left(\frac{1}{2}\right)^{2n} $$

(2)

(1) で求めた $p_n$ と $q_n$ の比を計算する。階乗の定義 ${}_n\mathrm{C}_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ を用いる。

$$ p_n = \frac{(2n)!}{(n+1)!(n-1)!} \left(\frac{1}{2}\right)^{2n} $$

$$ q_n = \frac{(2n-1)!}{n!(n-1)!} \left(\frac{1}{2}\right)^{2n} $$

両者の比をとると、

$$ \frac{p_n}{q_n} = \frac{\frac{(2n)!}{(n+1)!(n-1)!}}{\frac{(2n-1)!}{n!(n-1)!}} = \frac{(2n)! \cdot n! \cdot (n-1)!}{(2n-1)! \cdot (n+1)! \cdot (n-1)!} = \frac{2n}{n+1} $$

よって、$p_n = \frac{2n}{n+1} q_n$ と表せる。これを用いて求める式の真数部分を変形する。

$$ p_n - q_n = \left(\frac{2n}{n+1} - 1\right) q_n = \frac{n-1}{n+1} q_n $$

$$ \frac{p_n}{p_n - q_n} = \frac{\frac{2n}{n+1} q_n}{\frac{n-1}{n+1} q_n} = \frac{2n}{n-1} $$

求める和を $S$ とおくと、

$$ S = \sum_{n=2}^{8} \log_2 \frac{p_n}{p_n - q_n} = \sum_{n=2}^{8} \log_2 \frac{2n}{n-1} $$

対数の性質 $\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$ を用いて展開する。

$$ S = \sum_{n=2}^{8} \left( \log_2 2n - \log_2 (n-1) \right) = \sum_{n=2}^{8} \left( \log_2 2 + \log_2 n - \log_2 (n-1) \right) $$

$$ S = \sum_{n=2}^{8} \left( 1 + \log_2 n - \log_2 (n-1) \right) $$

シグマを項ごとに分けて計算する。

$$ \sum_{n=2}^{8} 1 = 1 \times (8 - 2 + 1) = 7 $$

$$ \sum_{n=2}^{8} \left( \log_2 n - \log_2 (n-1) \right) = (\log_2 2 - \log_2 1) + (\log_2 3 - \log_2 2) + \dots + (\log_2 8 - \log_2 7) $$

途中の項が打ち消し合い、最初と最後だけが残る。

$$ \sum_{n=2}^{8} \left( \log_2 n - \log_2 (n-1) \right) = \log_2 8 - \log_2 1 = 3 - 0 = 3 $$

したがって、求める和 $S$ は、

$$ S = 7 + 3 = 10 $$

解説

(2) の計算において、階乗を含んだ組合せの式を直接引こうとすると計算が煩雑になりやすい。本解答のように比をとり、$p_n$ を $q_n$ の定数倍で表すことで式をきれいに約分する手法は、確率や数列の問題で頻出の処理である。また、シグマ計算では隣り合う項の差の形（階差の形）を作ることで、中間の項が連鎖的に消去される「望遠鏡和」のテクニックを用いている。