東北大学 1976年 理系 第5問 解説

方針・初手

(1) 極限 $\lim_{x \to \infty} \{f(x) - (x+a)\} = 0$ は、直線 $y = x+a$ が $x \to \infty$ における曲線 $y = f(x)$ の漸近線であることを意味する。条件式は $\lim_{x \to \infty} \{f(x) - x\} = a$ と変形できるため、$A^3 - B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2)$ の関係を用いて $f(x) - x$ を有理化し、極限値を求める。

(2) 導関数 $f'(x)$ を計算し、増減表を作成する。その際、(1)で求めた漸近線の情報も活用する。また、$x \to -\infty$ での漸近線も同様に調べ、根号の中身が $0$ になる $x=0, 1$ での微係数の極限（グラフの尖点や接線の傾き）に注意してグラフの概形を捉える。

解法1

(1)

与えられた極限の式から、次が成り立つ。

$$ \lim_{x \to \infty} \{f(x) - x\} = a $$

左辺の極限を計算する。$X = \sqrt[3]{x^3 - x^2}$ とおき、$X^3 - x^3 = (X - x)(X^2 + Xx + x^2)$ の関係を用いると、次のように変形できる。

$$ \begin{aligned} f(x) - x &= \sqrt[3]{x^3 - x^2} - x \\ &= \frac{(\sqrt[3]{x^3 - x^2})^3 - x^3}{(\sqrt[3]{x^3 - x^2})^2 + x\sqrt[3]{x^3 - x^2} + x^2} \\ &= \frac{(x^3 - x^2) - x^3}{x^2 \left( 1 - \frac{1}{x} \right)^{\frac{2}{3}} + x^2 \left( 1 - \frac{1}{x} \right)^{\frac{1}{3}} + x^2} \\ &= \frac{-x^2}{x^2 \left\{ \left( 1 - \frac{1}{x} \right)^{\frac{2}{3}} + \left( 1 - \frac{1}{x} \right)^{\frac{1}{3}} + 1 \right\}} \\ &= \frac{-1}{\left( 1 - \frac{1}{x} \right)^{\frac{2}{3}} + \left( 1 - \frac{1}{x} \right)^{\frac{1}{3}} + 1} \end{aligned} $$

$x \to \infty$ のとき $\frac{1}{x} \to 0$ であるから、次を得る。

$$ \lim_{x \to \infty} \{f(x) - x\} = \frac{-1}{1 + 1 + 1} = -\frac{1}{3} $$

したがって、$a = -\frac{1}{3}$ である。

次に、曲線 $y = f(x)$ と直線 $y = x - \frac{1}{3}$ の交点を求める。

$$ \sqrt[3]{x^3 - x^2} = x - \frac{1}{3} $$

両辺を3乗して整理する。

$$ \begin{aligned} x^3 - x^2 &= \left( x - \frac{1}{3} \right)^3 \\ x^3 - x^2 &= x^3 - 3x^2 \cdot \frac{1}{3} + 3x \cdot \frac{1}{9} - \frac{1}{27} \\ x^3 - x^2 &= x^3 - x^2 + \frac{1}{3}x - \frac{1}{27} \\ 0 &= \frac{1}{3}x - \frac{1}{27} \end{aligned} $$

これを解いて $x = \frac{1}{9}$ となる。このとき、$y = \frac{1}{9} - \frac{1}{3} = -\frac{2}{9}$ となるため、交点の座標は $\left( \frac{1}{9}, -\frac{2}{9} \right)$ である。

(2)

$f(x) = (x^3 - x^2)^{\frac{1}{3}}$ について、$x \neq 0, 1$ のとき導関数は次のようになる。

$$ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{1}{3} (x^3 - x^2)^{-\frac{2}{3}} \cdot (3x^2 - 2x) \\ &= \frac{x(3x - 2)}{3 (x^2(x-1))^{\frac{2}{3}}} \\ &= \frac{x(3x - 2)}{3 x^{\frac{4}{3}} (x-1)^{\frac{2}{3}}} \\ &= \frac{3x - 2}{3 x^{\frac{1}{3}} (x-1)^{\frac{2}{3}}} \end{aligned} $$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = \frac{2}{3}$ のときである。$f'(x)$ の符号は、分母の $(x-1)^{\frac{2}{3}} > 0$（$x \neq 1$）であることから、$\frac{3x - 2}{x^{\frac{1}{3}}}$ の符号と一致する。

• $x < 0$ のとき、分子は負、分母は負より $f'(x) > 0$
• $0 < x < \frac{2}{3}$ のとき、分子は負、分母は正より $f'(x) < 0$
• $\frac{2}{3} < x < 1$ のとき、分子は正、分母は正より $f'(x) > 0$
• $x > 1$ のとき、分子は正、分母は正より $f'(x) > 0$

極値となる点およびその前後の関数値は以下の通りである。

$$ \begin{aligned} f(0) &= 0 \\ f\left(\frac{2}{3}\right) &= \sqrt[3]{\frac{8}{27} - \frac{12}{27}} = \sqrt[3]{-\frac{4}{27}} = -\frac{\sqrt[3]{4}}{3} \\ f(1) &= 0 \end{aligned} $$

これより、増減表は次のようになる。

さらに、漸近線について調べる。$x \to \infty$ における漸近線は(1)より $y = x - \frac{1}{3}$ である。$x \to -\infty$ のときも、(1)と同様の式変形において $\frac{1}{x} \to 0$ となるため、

$$ \lim_{x \to -\infty} \left\{ f(x) - \left(x - \frac{1}{3}\right) \right\} = 0 $$

が成り立ち、直線 $y = x - \frac{1}{3}$ は $x \to \pm \infty$ 両方での漸近線となる。

また、$x = 0, 1$ における接線の傾き（微係数の極限）を調べる。

$$ \begin{aligned} \lim_{x \to +0} f'(x) &= -\infty \\ \lim_{x \to -0} f'(x) &= \infty \\ \lim_{x \to 1} f'(x) &= \infty \end{aligned} $$

したがって、グラフは $x=0$ で尖点（カスプ）をもち、$x=1$ で $y$ 軸に平行な接線をもつ。 これらの情報と、(1)で求めた漸近線との交点 $\left( \frac{1}{9}, -\frac{2}{9} \right)$ をもとにグラフを描く。

解説

(1) における極限の処理は、$\infty - \infty$ の不定形を解消するための典型的な手法である。3乗根が含まれている場合は、$A^3 - B^3$ の展開公式を利用して有理化を行うのが定石である。交点を求める計算において、無縁解が生じていないかどうかも暗黙のうちに確認されている（今回は3次方程式が1次方程式に帰着するため無縁解は生じない）。

(2) では、導関数の符号判定と極限（漸近線）の調査が求められる。特に $f'(x)$ の分母が $0$ になる点 ($x=0, 1$) の取り扱いが重要である。$x=0$ では左右からの極限の符号が異なるため尖った点となり、$x=1$ では極限が $\infty$ となるため滑らかに垂直に立つような形状となる。漸近線と曲線の交点の位置も、グラフを正確に描くための重要な指標となる。

答え

(1) $a = -\frac{1}{3}$ 交点の座標は $\left( \frac{1}{9}, -\frac{2}{9} \right)$

(2) $y=f(x)$ の増減は以下の通り。

グラフは上記の増減表に従い、$x \to \pm \infty$ における漸近線 $y = x - \frac{1}{3}$、漸近線との交点 $\left( \frac{1}{9}, -\frac{2}{9} \right)$、$x=0$ における尖点、$x=1$ における垂直接線をもつ曲線となる。