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大阪大学 2004年文系第3問解説

方針・初手

反復試行の確率と等比数列の和、および常用対数を用いた不等式の評価を組み合わせた問題である。 (1)では、Aが$k$投目で勝つまでに、AとBがそれぞれ何回サイコロを振って失敗した（1以外の目が出た）かを正確に把握する。 (2)では、(1)で求めた確率を$k=1$から$n$まで足し合わせて、等比数列の和を計算する。 (3)では、(2)の結果を用いて指数不等式を立て、両辺の常用対数をとることで$n$の範囲を絞り込む。$\log_{10} 25$ を $\log_{10} \frac{100}{4}$ と変形する典型的な計算手法が鍵となる。

解法1

(1)

Aの$k$投目でAが勝つのは、Aの1投目から$(k-1)$投目、およびBの1投目から$(k-1)$投目までの合計$2(k-1)$回すべてで1以外の目が出て、直後のAの$k$投目で1の目が出る場合である。

サイコロを1回投げて1の目が出る確率は $\frac{1}{6}$、1以外の目が出る確率は $\frac{5}{6}$ である。

したがって、求める確率は

$$ \left(\frac{5}{6}\right)^{2(k-1)} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{6} \left(\frac{25}{36}\right)^{k-1} $$

(2)

このゲームにおいてAが勝つのは、Aの1投目、2投目、$\cdots$、$n$投目のいずれかで1の目を出す場合であり、これらは互いに排反な事象である。

したがって、Aが勝つ確率 $P_n$ は、(1)で求めた確率を $k=1$ から $n$ まで足し合わせたものになる。

$$ \begin{aligned} P_n &= \sum_{k=1}^n \frac{1}{6} \left(\frac{25}{36}\right)^{k-1} \\ &= \frac{1}{6} \times \frac{1 - \left(\frac{25}{36}\right)^n}{1 - \frac{25}{36}} \\ &= \frac{1}{6} \times \frac{36}{11} \left( 1 - \left(\frac{25}{36}\right)^n \right) \\ &= \frac{6}{11} \left( 1 - \left(\frac{25}{36}\right)^n \right) \end{aligned} $$

(3)

$P_n > \frac{1}{2}$ より、

$$ \frac{6}{11} \left( 1 - \left(\frac{25}{36}\right)^n \right) > \frac{1}{2} $$

$$ 1 - \left(\frac{25}{36}\right)^n > \frac{11}{12} $$

$$ \left(\frac{25}{36}\right)^n < \frac{1}{12} $$

両辺は正であるから、底が10の常用対数をとる。底10は1より大きいため、不等号の向きは変わらない。

$$ n \log_{10} \frac{25}{36} < \log_{10} \frac{1}{12} $$

ここで、各対数の値を計算する。

$$ \begin{aligned} \log_{10} \frac{25}{36} &= \log_{10} \frac{100}{4 \times 36} \\ &= \log_{10} 100 - \log_{10} (2^2 \times 2^2 \times 3^2) \\ &= 2 - \log_{10} (2^4 \times 3^2) \\ &= 2 - (4\log_{10} 2 + 2\log_{10} 3) \\ &= 2 - (4 \times 0.3010 + 2 \times 0.4771) \\ &= 2 - (1.2040 + 0.9542) \\ &= 2 - 2.1582 \\ &= -0.1582 \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \log_{10} \frac{1}{12} &= - \log_{10} 12 \\ &= - \log_{10} (2^2 \times 3) \\ &= - (2\log_{10} 2 + \log_{10} 3) \\ &= - (2 \times 0.3010 + 0.4771) \\ &= - (0.6020 + 0.4771) \\ &= -1.0791 \end{aligned} $$

これらを不等式に代入すると、

$$ -0.1582 n < -1.0791 $$

$$ n > \frac{1.0791}{0.1582} = \frac{10791}{1582} $$

右辺の分数を計算すると、

$$ \frac{10791}{1582} = 6.82\cdots $$

となる。$n$ は自然数であるから、条件を満たす最小の $n$ は $7$ である。

解説

確率、数列、対数の基本事項を組み合わせた標準的な問題である。 (1)では、Aが$k$回投げるまでにゲームが終了していない状況を正確に数え上げる。交互に投げるため、Bも$(k-1)$回失敗している点に注意する。 (2)の等比数列の和の計算では、公比が $\frac{25}{36}$ であることを間違えないようにする。 (3)の対数計算では、与えられた $\log_{10} 2$ と $\log_{10} 3$ の値から必要な対数値を導き出す。特に $\log_{10} 25 = \log_{10} \frac{100}{4} = 2 - 2\log_{10} 2$ という変形は非常によく用いられる手法であるため、確実に押さえておきたい。