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東北大学 1978年理系第2問解説

方針・初手

(1) は与えられた行列とベクトルを用いて、条件の不等式を $x$ と $y$ の式で表すことから始める。不等式が「任意の実数 $x, y$ に対して」成り立つ条件を求めるため、特定の $x, y$ の値を代入して必要条件から $a$ の値を絞り込むと見通しが良い。

(2) は (1) で求めた $a$ を代入し、$A\vec{u} \cdot \vec{u}$ を $x, y$ の式で表す。条件 $x^2 + y^2 = 1$ を活かすため、三角関数による媒介変数表示や、コーシー・シュワルツの不等式を利用して最大値と最小値を求める。

解法1

(1)

行列の積とベクトルによる計算を行う。

$$ A\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ a & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + 2y \\ ax + 4y \end{pmatrix} $$

したがって、内積 $A\vec{u} \cdot A\vec{u}$ は以下のようになる。

$$ \begin{aligned} A\vec{u} \cdot A\vec{u} &= (x+2y)^2 + (ax+4y)^2 \\ &= x^2 + 4xy + 4y^2 + a^2x^2 + 8axy + 16y^2 \\ &= (a^2+1)x^2 + 4(2a+1)xy + 20y^2 \end{aligned} $$

次に、$AB\vec{u} \cdot \vec{u}$ について計算する。まず行列 $AB$ を求める。

$$ AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ a & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & a \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & a+8 \\ a+8 & a^2+16 \end{pmatrix} $$

これに $\vec{u}$ をかける。

$$ AB\vec{u} = \begin{pmatrix} 5 & a+8 \\ a+8 & a^2+16 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5x + (a+8)y \\ (a+8)x + (a^2+16)y \end{pmatrix} $$

したがって、内積 $AB\vec{u} \cdot \vec{u}$ は以下のようになる。

$$ \begin{aligned} AB\vec{u} \cdot \vec{u} &= x\{5x + (a+8)y\} + y\{(a+8)x + (a^2+16)y\} \\ &= 5x^2 + (a+8)xy + (a+8)xy + (a^2+16)y^2 \\ &= 5x^2 + 2(a+8)xy + (a^2+16)y^2 \end{aligned} $$

条件である $A\vec{u} \cdot A\vec{u} \geqq AB\vec{u} \cdot \vec{u}$ に代入する。

$$ (a^2+1)x^2 + 4(2a+1)xy + 20y^2 \geqq 5x^2 + 2(a+8)xy + (a^2+16)y^2 $$

すべて左辺に移項して整理する。

$$ (a^2-4)x^2 + 6(a-2)xy - (a^2-4)y^2 \geqq 0 \quad \cdots (*) $$

この不等式 $(*)$ が任意の実数 $x, y$ に対して成立するための必要条件を考える。

$x=1, y=0$ を代入すると、以下のようになる。

$$ a^2 - 4 \geqq 0 $$

$x=0, y=1$ を代入すると、以下のようになる。

$$ -(a^2 - 4) \geqq 0 \iff a^2 - 4 \leqq 0 $$

これらを同時に満たす必要があるため、$a^2 - 4 = 0$ すなわち $a = \pm 2$ でなければならない。

(i) $a=2$ のとき

$(*)$ の左辺は以下のようになる。

$$ (2^2-4)x^2 + 6(2-2)xy - (2^2-4)y^2 = 0 $$

$0 \geqq 0$ となり、これは任意の実数 $x, y$ に対して成立する。

(ii) $a=-2$ のとき

$(*)$ の左辺は以下のようになる。

$$ ((-2)^2-4)x^2 + 6(-2-2)xy - ((-2)^2-4)y^2 = -24xy $$

$-24xy \geqq 0$ となるが、これは任意の実数 $x, y$ に対して常に成立するわけではない（例えば $x=1, y=1$ のとき $-24 \geqq 0$ となり不成立）。

以上より、求める実数 $a$ の値は $a=2$ である。

(2)

(1)より $a=2$ であるから、行列 $A$ は以下のようになる。

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} $$

このとき、$A\vec{u}$ と $A\vec{u} \cdot \vec{u}$ を計算する。

$$ A\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + 2y \\ 2x + 4y \end{pmatrix} $$

$$ A\vec{u} \cdot \vec{u} = x(x+2y) + y(2x+4y) = x^2 + 4xy + 4y^2 = (x+2y)^2 $$

条件 $x^2 + y^2 = 1$ を満たすので、$x = \cos \theta, y = \sin \theta \ (0 \leqq \theta < 2\pi)$ とおくことができる。これを用いて式を変形する。

$$ \begin{aligned} A\vec{u} \cdot \vec{u} &= (\cos \theta + 2\sin \theta)^2 \\ &= \left\{ \sqrt{5} \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \cos \theta + \frac{2}{\sqrt{5}} \sin \theta \right) \right\}^2 \\ &= 5 \sin^2(\theta + \alpha) \end{aligned} $$

ただし、$\alpha$ は $\cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}, \sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$ を満たす角である。

$0 \leqq \theta < 2\pi$ より、$\sin(\theta + \alpha)$ は $-1$ から $1$ のすべての値をとる。したがって、$0 \leqq \sin^2(\theta + \alpha) \leqq 1$ であるから、以下の不等式が成り立つ。

$$ 0 \leqq 5 \sin^2(\theta + \alpha) \leqq 5 $$

よって、最大値は $5$、最小値は $0$ である。