東北大学 1978年 理系 第3問 解説

方針・初手

平面 $\alpha$ の法線ベクトルは $(2,1,5)$ である。したがって、$\overrightarrow{CT}$ はこの法線ベクトルに平行であり、長さが $\sqrt{30}$ なので、向きだけを決めればよい。向きは「$C$ は $\alpha$ に関して $Q$ と同じ側にある」という条件で確定する。

そのうえで、$C$ は平面 $\beta$ 上の円周上にあるから、$z=2$ と円の条件を満たす。さらに、$C$ から $\alpha$ までの距離が $\sqrt{30}$ であることを用いれば、$C$ の座標が求まる。

解法1

平面 $\alpha:2x+y+5z=-6$ の法線ベクトルは

$$ \boldsymbol{n}=(2,1,5) $$

である。

その大きさは

$$ |\boldsymbol{n}|=\sqrt{2^2+1^2+5^2}=\sqrt{30} $$

であるから、$\overrightarrow{CT}$ は長さ $\sqrt{30}$ の法線ベクトル、すなわち

$$ \overrightarrow{CT}=\pm(2,1,5) $$

のいずれかである。

ここで、平面 $\alpha$ を

$$ 2x+y+5z+6=0 $$

と書くと、$Q(2,1,2)$ に対して

$$ 2\cdot2+1+5\cdot2+6=21>0 $$

である。よって $Q$ は $\alpha$ の正の側にある。条件より $C$ も同じ側にあるから、$C$ から $\alpha$ に向かう垂線は、この値を減らす向きに進む。したがって

$$ \overrightarrow{CT}=-(2,1,5)=(-2,-1,-5) $$

である。

次に、$C=(x,y,2)$ とおく。$C$ は中心 $Q(2,1,2)$、半径 $\sqrt{29}$ の円周上にあるから

$$ (x-2)^2+(y-1)^2=29 $$

を満たす。

また、$C$ と平面 $\alpha$ との距離が $\sqrt{30}$ であるから

$$ \frac{|2x+y+5\cdot2+6|}{\sqrt{30}}=\sqrt{30} $$

すなわち

$$ |2x+y+16|=30 $$

となる。

しかも $C$ は $Q$ と同じ側、すなわち正の側にあるので

$$ 2x+y+16=30 $$

であり、

$$ 2x+y=14 $$

を得る。

ここで $y=14-2x$ として円の式に代入すると、

$$ (x-2)^2+(13-2x)^2=29 $$

より

$$ x^2-4x+4+4x^2-52x+169=29 $$

$$ 5x^2-56x+144=0 $$

となる。これを解くと

$$ x=\frac{56\pm16}{10} $$

より

$$ x=4,\quad \frac{36}{5} $$

である。

したがって

$$ y=14-2x $$

から

$$ (x,y)=(4,6),\quad \left(\frac{36}{5},-\frac{2}{5}\right) $$

となる。よって

$$ C=(4,6,2),\quad \left(\frac{36}{5},-\frac{2}{5},2\right) $$

である。

さらに

$$ T=C+\overrightarrow{CT}=C+(-2,-1,-5) $$

より

$$ T=(2,5,-3),\quad \left(\frac{26}{5},-\frac{7}{5},-3\right) $$

となる。

解説

この問題では、平面への垂線は法線ベクトルに平行であることを最初に押さえるのが重要である。長さまで与えられているので、$\overrightarrow{CT}$ は符号を除いてすぐ決まる。

その後は、$C$ が平面 $\beta$ 上の円周上にある条件と、平面 $\alpha$ までの距離条件を連立すればよい。距離条件には絶対値が現れるが、「$Q$ と同じ側」という条件によって符号が定まり、一次式に落ちる。この処理が座標決定の要点である。

答え

$$ \overrightarrow{CT}=(-2,-1,-5) $$

また、$C,\ T$ の組は

$$ C=(4,6,2),\quad T=(2,5,-3) $$

または

$$ C=\left(\frac{36}{5},-\frac{2}{5},2\right),\quad T=\left(\frac{26}{5},-\frac{7}{5},-3\right) $$

である。