東北大学 1988年 理系 第4問 解説

方針・初手

3個の数の選び方は、$1,2,\dots,2n$ から異なる3個を選ぶ組合せであり、全体は

$$ {}_{2n}\mathrm{C}_{3} $$

通りである。

$X$ は「最大値 $-$ 最小値」であるから、$X=k$ となる場合は、最小値と最大値の差が $k$ であるような両端を決め、その間に残り1個を入れる方法を数えればよい。

解法1

まず、$X$ の取りうる値を考える。

異なる3個の整数を選ぶので、最小値と最大値の差は少なくとも $2$ である。また、最小値を $1$、最大値を $2n$ とすれば差は最大で $2n-1$ である。したがって、

$$ X=2,3,\dots,2n-1 $$

である。

次に、$X=k$ となる場合の数を数える。ただし $2\leq k\leq 2n-1$ とする。

最小値を $a$ とすると、最大値は $a+k$ である。これが $1$ から $2n$ の範囲に入るためには

$$ 1\leq a,\quad a+k\leq 2n $$

であるから、

$$ a=1,2,\dots,2n-k $$

の $2n-k$ 通りである。

このとき、3つ目の数は最小値 $a$ と最大値 $a+k$ の間に入らなければならないので、

$$ a+1,a+2,\dots,a+k-1 $$

のいずれかであり、その選び方は $k-1$ 通りである。

よって、$X=k$ となる場合の数は

$$ (2n-k)(k-1) $$

通りである。したがって確率分布は

$$ P(X=k)=\frac{(2n-k)(k-1)}{{}_{2n}\mathrm{C}_{3}} \qquad (k=2,3,\dots,2n-1) $$

となる。

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次に、$X\leq n$ となる確率を求める。

$$ P(X\leq n)=\sum_{k=2}^{n}P(X=k) =\frac{1}{{}_{2n}\mathrm{C}_{3}}\sum_{k=2}^{n}(2n-k)(k-1) $$

である。ここで $j=k-1$ とおくと、$j=1,2,\dots,n-1$ であり、

$$ (2n-k)(k-1)=(2n-j-1)j=(2n-1)j-j^2 $$

だから、

$$ \sum_{k=2}^{n}(2n-k)(k-1) =\sum_{j=1}^{n-1}\bigl((2n-1)j-j^2\bigr) $$

となる。よって、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=2}^{n}(2n-k)(k-1) &=(2n-1)\sum_{j=1}^{n-1}j-\sum_{j=1}^{n-1}j^2 \\ &=(2n-1)\cdot \frac{n(n-1)}{2}-\frac{(n-1)n(2n-1)}{6} \\ &=\frac{n(n-1)(2n-1)}{3} \end{aligned} $$

である。

一方、

$$ {}_{2n}\mathrm{C}_{3} =\frac{2n(2n-1)(2n-2)}{6} =\frac{2n(2n-1)(n-1)}{3} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} P(X\leq n) &=\frac{\frac{n(n-1)(2n-1)}{3}}{\frac{2n(2n-1)(n-1)}{3}} \\ &=\frac{1}{2} \end{aligned} $$

したがって、

$$ P(X\leq n)=\frac12 $$

である。

解説

この問題の要点は、$X$ を直接数えようとせず、最小値と最大値を先に固定することである。

$X=k$ であるとは、3個の数の両端がちょうど $k$ 離れているという意味である。そこで、最小値を $a$、最大値を $a+k$ と決めると、残り1個はその間にある $k-1$ 個の整数から選ぶだけになる。この見方を使うと、確率分布がすぐに求まる。

また、(2) は分布を求めたあとに和を取ればよい。計算すると結果が $n$ に依らず $\frac12$ になる点が特徴的である。

答え

$$ P(X=k)=\frac{(2n-k)(k-1)}{{}_{2n}\mathrm{C}_{3}} \qquad (k=2,3,\dots,2n-1) $$

である。

したがって、

$$ P(X\leq n)=\frac12 $$

である。