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東北大学 1988年理系第5問解説

方針・初手

与えられた等式は、数列の和の形をした漸化式です。まずは $\Sigma$ の中の添字を整理し、$S_n = \sum 3^j a_j$ の形に帰着させることで、$a_n$ を求めます。その後、求めたい和 $\sum n a_n$ を計算しますが、分母が複数の因数の積になるため、部分分数分解を利用して項が打ち消し合う形（望遠鏡和）を作ります。

解法1

与えられた等式 $$\sum_{k=0}^{n-1} 3^{-k} a_{n-k} = \frac{1}{n(n+1)(n+2)}$$ について、左辺の和の添字を $j = n-k$ と置き換える。$k$ が $0$ から $n-1$ まで動くとき、$j$ は $n$ から $1$ まで動く。したがって、 $$\sum_{j=1}^{n} 3^{-(n-j)} a_j = \frac{1}{n(n+1)(n+2)}$$ 両辺に $3^n$ を掛けると、 $$\sum_{j=1}^{n} 3^j a_j = \frac{3^n}{n(n+1)(n+2)}$$ となる。ここで $S_n = \sum_{j=1}^{n} 3^j a_j$ とおく。

$n=1$ のとき、 $$S_1 = 3^1 a_1 = \frac{3^1}{1 \cdot 2 \cdot 3} \implies 3 a_1 = \frac{1}{2} \implies a_1 = \frac{1}{6}$$

$n \ge 2$ のとき、 $$3^n a_n = S_n - S_{n-1}$$ $$\begin{aligned} 3^n a_n &= \frac{3^n}{n(n+1)(n+2)} - \frac{3^{n-1}}{(n-1)n(n+1)} \\ &= \frac{3^{n-1}}{n(n+1)} \left( \frac{3}{n+2} - \frac{1}{n-1} \right) \\ &= \frac{3^{n-1}}{n(n+1)} \frac{3(n-1) - (n+2)}{(n-1)(n+2)} \\ &= \frac{3^{n-1}(2n-5)}{(n-1)n(n+1)(n+2)} \end{aligned}$$ 両辺を $3^n$ で割ることで、$n \ge 2$ における $a_n$ が求まる。 $$a_n = \frac{2n-5}{3(n-1)n(n+1)(n+2)}$$

次に、求める和 $\sum_{n=1}^m n a_n$ について考える。$n \ge 2$ において、 $$n a_n = n \cdot \frac{2n-5}{3(n-1)n(n+1)(n+2)} = \frac{2n-5}{3(n-1)(n+1)(n+2)}$$ これを部分分数に分解する。 $$\frac{2n-5}{(n-1)(n+1)(n+2)} = \frac{A}{n-1} + \frac{B}{n+1} + \frac{C}{n+2}$$ とおいて分母を払うと、 $$2n-5 = A(n+1)(n+2) + B(n-1)(n+2) + C(n-1)(n+1)$$ これは $n$ についての恒等式である。 $n=1$ を代入すると $-3 = 6A \implies A = -\frac{1}{2}$ $n=-1$ を代入すると $-7 = -2B \implies B = \frac{7}{2}$ $n=-2$ を代入すると $-9 = 3C \implies C = -3$ したがって、 $$n a_n = \frac{1}{3} \left( -\frac{1}{2(n-1)} + \frac{7}{2(n+1)} - \frac{3}{n+2} \right) = \frac{1}{6} \left( -\frac{1}{n-1} + \frac{7}{n+1} - \frac{6}{n+2} \right)$$ となる。これを用いて $n \ge 2$ の部分の和を求める。 $$\begin{aligned} \sum_{n=2}^m n a_n &= \frac{1}{6} \sum_{n=2}^m \left( -\frac{1}{n-1} + \frac{7}{n+1} - \frac{6}{n+2} \right) \\ &= \frac{1}{6} \left\{ -\left( \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{m-1} \right) \right. \\ &\quad \left. + 7\left( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{m+1} \right) \right. \\ &\quad \left. - 6\left( \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \dots + \frac{1}{m+2} \right) \right\} \end{aligned}$$ $\frac{1}{k}$ ($4 \le k \le m-1$) の係数は $-1 + 7 - 6 = 0$ となり相殺されるため、残る項をまとめると、 $$\begin{aligned} \sum_{n=2}^m n a_n &= \frac{1}{6} \left\{ \left(-1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \frac{7}{3} + \left(\frac{7}{m} + \frac{7}{m+1}\right) - \left(\frac{6}{m} + \frac{6}{m+1} + \frac{6}{m+2}\right) \right\} \\ &= \frac{1}{6} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{m} + \frac{1}{m+1} - \frac{6}{m+2} \right) \\ &= \frac{1}{12} + \frac{1}{6m} + \frac{1}{6(m+1)} - \frac{1}{m+2} \end{aligned}$$ 求める和は $n=1$ の項 $1 \cdot a_1 = \frac{1}{6}$ を加えたものであるから、 $$\begin{aligned} \sum_{n=1}^m n a_n &= \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{6m} + \frac{1}{6(m+1)} - \frac{1}{m+2} \\ &= \frac{1}{4} + \frac{1}{6m} + \frac{1}{6(m+1)} - \frac{1}{m+2} \end{aligned}$$

解法2

$n \ge 2$ における $a_n$ の式について、次のように恒等変形を行う。 $$\begin{aligned} a_n &= \frac{2n-5}{3(n-1)n(n+1)(n+2)} \\ &= \frac{n-2}{3(n-1)n(n+1)} - \frac{n-1}{3n(n+1)(n+2)} \end{aligned}$$ ここで、$g(n) = \frac{n-2}{3(n-1)n(n+1)}$ とおくと、$a_n = g(n) - g(n+1)$ と表せる。これを用いて $\sum_{n=2}^m n a_n$ を計算する。 $$\begin{aligned} \sum_{n=2}^m n a_n &= \sum_{n=2}^m n (g(n) - g(n+1)) \\ &= \sum_{n=2}^m n g(n) - \sum_{n=2}^m n g(n+1) \\ &= \sum_{n=2}^m n g(n) - \sum_{n=3}^{m+1} (n-1) g(n) \\ &= 2g(2) + \sum_{n=3}^m \left\{ n - (n-1) \right\} g(n) - m g(m+1) \\ &= 2g(2) + \sum_{n=3}^m g(n) - m g(m+1) \end{aligned}$$ $g(2) = 0$ であり、$g(n)$ をさらに分解すると、 $$\begin{aligned} g(n) &= \frac{1}{3} \frac{(n+1)-3}{(n-1)n(n+1)} \\ &= \frac{1}{3} \left( \frac{1}{(n-1)n} - \frac{3}{(n-1)n(n+1)} \right) \\ &= \frac{1}{3} \left( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} \right) - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{(n-1)n} - \frac{1}{n(n+1)} \right) \end{aligned}$$ となるから、これらは望遠鏡和となり容易に計算できる。 $$\begin{aligned} \sum_{n=3}^m g(n) &= \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{m} \right) - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2 \cdot 3} - \frac{1}{m(m+1)} \right) \\ &= \frac{1}{12} - \frac{1}{3m} + \frac{1}{2m(m+1)} \end{aligned}$$ また、 $$m g(m+1) = m \frac{m-1}{3m(m+1)(m+2)} = \frac{m-1}{3(m+1)(m+2)}$$ したがって、 $$\begin{aligned} \sum_{n=2}^m n a_n &= \frac{1}{12} - \frac{1}{3m} + \frac{1}{2m(m+1)} - \frac{m-1}{3(m+1)(m+2)} \\ &= \frac{1}{12} + \frac{-2m+1}{6m(m+1)} - \frac{2m-2}{6(m+1)(m+2)} \end{aligned}$$ これに $a_1 = \frac{1}{6}$ を加えると、 $$\begin{aligned} \sum_{n=1}^m n a_n &= \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{-2m+1}{6m(m+1)} - \frac{2m-2}{6(m+1)(m+2)} \\ &= \frac{1}{4} + \frac{(-2m+1)(m+2) - m(2m-2)}{6m(m+1)(m+2)} \\ &= \frac{1}{4} + \frac{-4m^2-m+2}{6m(m+1)(m+2)} \end{aligned}$$ この結果は解法1で得られたものと一致する。

解説

漸化式に $\Sigma$ が含まれる問題では、添え字を揃えて $S_n - S_{n-1}$ の形に持ち込むのが定石です。和の計算においては、分母が3次以上の多項式となるため、部分分数分解を正確に行う計算力が問われます。解法1のように素直に各因子に分解して相殺させる方法と、解法2のように部分和分（アーベルの変形）を応用して階差の形を作り出す方法のどちらでも解くことができます。