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東北大学 1988年理系第3問解説

方針・初手

まず

$$ g(x)=\frac{2x^2+x-1}{x-1} $$

とおくと、$f(x)=|g(x)|$ である。

ここで

$$ 2x^2+x-1=(2x-1)(x+1) $$

と因数分解できるので、まず $g(x)$ の符号を調べる。$f(x)=|g(x)|$ は、$g(x)<0$ の部分を $x$ 軸対称に折り返したものとみなせるからである。

また、

$$ g(x)=2x+3+\frac{2}{x-1} $$

と変形しておくと、漸近線も求めやすい。

解法1

(1) 極値を求める。

まず $g(x)$ の符号を調べる。

$$ g(x)=\frac{(2x-1)(x+1)}{x-1} $$

より、符号は次のようになる。

$x<-1$ では $g(x)<0$
$-1<x<\dfrac12$ では $g(x)>0$
$\dfrac12<x<1$ では $g(x)<0$
$x>1$ では $g(x)>0$

したがって、$f(x)$ は

$$ f(x)= \begin{cases} -g(x) & \left(x<-1,\ \dfrac12<x<1\right),\ g(x) & \left(-1\leqq x\leqq \dfrac12,\ x>1\right) \end{cases} $$

となる。ただし定義域は $x\ne1$ である。

次に $g(x)$ を微分する。

$$ g(x)=2x+3+\frac{2}{x-1} $$

より、

$$ g'(x)=2-\frac{2}{(x-1)^2} =\frac{2{(x-1)^2-1}}{(x-1)^2} =\frac{2x(x-2)}{(x-1)^2} $$

である。$(x-1)^2>0$ であるから、$g'(x)$ の符号は $x(x-2)$ の符号で決まる。よって

$x<0$ または $x>2$ で $g'(x)>0$
$0<x<2$ で $g'(x)<0$

である。

これを $f(x)=\pm g(x)$ に反映すると、$f(x)$ の増減は次のようになる。

$(-\infty,-1)$ で減少
$(-1,0)$ で増加
$(0,\dfrac12)$ で減少
$(\dfrac12,1)$ で増加
$(1,2)$ で減少
$(2,\infty)$ で増加

したがって極値は次の通りである。

(i) $x=-1$ のとき

$$ f(-1)=\left|\frac{2-1-1}{-2}\right|=0 $$

より、極小値は $0$ である。

(ii) $x=0$ のとき

$$ f(0)=\left|\frac{-1}{-1}\right|=1 $$

より、極大値は $1$ である。

(iii) $x=\dfrac12$ のとき

$$ f\left(\frac12\right)=0 $$

より、極小値は $0$ である。

(iv) $x=2$ のとき

$$ f(2)=\left|\frac{8+2-1}{1}\right|=9 $$

より、極小値は $9$ である。

なお、$x=-1,\ \dfrac12$ では絶対値の折り返しが起こるため、グラフはそこで折れ曲がる。

(2) 漸近線を求める。

まず $x=1$ では分母が $0$ になるので、鉛直漸近線の候補である。

実際、

$$ \lim_{x\to1-}f(x)=\infty,\qquad \lim_{x\to1+}f(x)=\infty $$

であるから、鉛直漸近線は

$$ x=1 $$

である。

次に斜漸近線を調べる。

$x\to\infty$ では $x>1$ なので $f(x)=g(x)$ であり、

$$ f(x)=2x+3+\frac{2}{x-1} $$

である。したがって

$$ f(x)-(2x+3)=\frac{2}{x-1}\to0 \qquad (x\to\infty) $$

より、

$$ y=2x+3 $$

は $x\to\infty$ のときの斜漸近線である。

一方、$x\to-\infty$ では $x<-1$ なので $f(x)=-g(x)$ であり、

$$ f(x)=-2x-3-\frac{2}{x-1} $$

である。よって

$$ f(x)-(-2x-3)=-\frac{2}{x-1}\to0 \qquad (x\to-\infty) $$

より、

$$ y=-2x-3 $$

は $x\to-\infty$ のときの斜漸近線である。

以上より、漸近線は

$$ x=1,\qquad y=2x+3,\qquad y=-2x-3 $$

である。

(3) 曲線 $y=f(x)$ の概形を考える。

$x$ 軸との交点は

$$ 2x^2+x-1=0 $$

の解から求まり、

$$ x=-1,\ \frac12 $$

である。したがって交点は

$$ (-1,0),\ \left(\frac12,0\right) $$

である。

また、$y$ 軸との交点は

$$ f(0)=1 $$

より $(0,1)$ である。

以上と増減、漸近線をまとめると、グラフは次の特徴をもつ。

$x< -1$ では、直線 $y=-2x-3$ に近づきながら減少して $(-1,0)$ に至る。
$-1<x<\dfrac12$ では、$(-1,0)$ から増加して $(0,1)$ で極大をとり、その後減少して $\left(\dfrac12,0\right)$ に至る。
$\dfrac12<x<1$ では、$\left(\dfrac12,0\right)$ から増加し、$x\to1-0$ で $+\infty$ に発散する。
$x>1$ では、$x\to1+0$ で $+\infty$ から始まり、$(2,9)$ まで減少したのち、再び増加して直線 $y=2x+3$ に近づく。