トップ› 東北大学› 2020年› 理系第4問

東北大学 2020年理系第4問解説

方針・初手

この問題では、玉の色が重要になるのは 手元にある白玉・赤玉の個数 を問う (1), (2) であり、試行が止まる時刻だけを問う (3), (4) では色は関係しない。

したがって、

(1), (2) では「表が出た回数」と「そのとき取り出した玉の色」を追う。
(3), (4) では「表が出ると玉が1個減る、裏なら減らない」とみて、表の回数だけを考える。

という分け方をすると整理しやすい。

解法1

（1） 2回の試行の結果、手元に白玉が2個ある確率

2回の試行後に手元に白玉が2個あるためには、

1回目に白玉を取り出して表が出る
2回目に白玉を取り出して表が出る

ことが必要十分である。

1回目に白玉を取り出す確率は $3/5$、その後に表が出る確率は $1/2$ である。

1回目に白玉を手元に残した後、箱の中は白2個、赤2個なので、2回目に白玉を取り出す確率は $2/4=1/2$、さらに表が出る確率は $1/2$ である。

よって求める確率は

$$ \frac{3}{5}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{4}\cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{40} $$

である。

（2） 3回の試行の結果、手元の玉が白玉1個、赤玉1個の計2個となる確率

3回の試行後に手元の玉がちょうど2個であるためには、3回のうちちょうど2回表が出る必要がある。

その確率は

$$ {}_{3}\mathrm{C}_{2}\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{3}{8} $$

である。

次に、その2回の表で手元に残る2個の玉が「白1個、赤1個」となる確率を考える。

表が出た2回に注目すると、その2回では箱から玉を重複なく2個取り出して手元に残すことになる。したがって、その2個が白1個・赤1個となる確率は

$$ \frac{3}{5}\cdot \frac{2}{4}+\frac{2}{5}\cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{10}+\frac{3}{10} = \frac{3}{5} $$

である。

よって求める確率は

$$ \frac{3}{8}\cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{40} $$

である。

（3）ちょうど $n$ 回目で試行が停止する確率 $p_n$

箱の玉は全部で5個であり、表が1回出るごとに箱の玉は1個減る。裏なら玉は箱に戻るので、箱の玉の個数は変わらない。

したがって、試行が停止するのは 5回目の表が出たとき である。

よって、ちょうど $n$ 回目で停止するための条件は、

1回目から $(n-1)$ 回目までに表がちょうど4回出る
$n$ 回目に表が出る

ことである。

ゆえに

$$ p_n={}_{n-1}\mathrm{C}_{4}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\cdot \frac{1}{2} ={}_{n-1}\mathrm{C}_{4}\left(\frac{1}{2}\right)^n \qquad (n\geq 5) $$

である。

（4） $p_n$ が最大となる $n$

（3）の結果より

$$ p_n={}_{n-1}\mathrm{C}_{4}\left(\frac{1}{2}\right)^n $$

であるから、隣り合う項の比を考える。

$$ \begin{aligned} \frac{p_{n+1}}{p_n} &= \frac{{}_{n}\mathrm{C}_{4}\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}} {{}_{n-1}\mathrm{C}_{4}\left(\frac{1}{2}\right)^n} \\ &=\frac{1}{2}\cdot \frac{{}_{n}\mathrm{C}_{4}}{{}_{n-1}\mathrm{C}_{4}} \\ &=\frac{1}{2}\cdot \frac{n}{n-4} \\ &=\frac{n}{2(n-4)} \end{aligned} $$

したがって、

$$ \frac{p_{n+1}}{p_n}>1 \iff \frac{n}{2(n-4)}>1 \iff n<8 $$

また、

$$ \frac{p_{n+1}}{p_n}=1 \iff n=8 $$

であり、さらに $n>8$ では $\dfrac{p_{n+1}}{p_n}<1$ となる。

よって、$p_n$ は $n=5,6,7,8$ で増加し、$p_8=p_9$ となり、その後減少する。

したがって、$p_n$ が最大となるのは

$$ n=8,\ 9 $$

である。