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東北大学 1989年理系第4問解説

方針・初手

採択条件は「3個のうち黒球が2個以上」である。

したがって、

仮説 $H$ が正しいときの誤棄却確率は、「Aの箱から取り出した3個の中に黒球が1個以下」となる確率
仮説 $H$ が正しくないときの誤採択確率は、「実際にはBまたはCの箱なのに、黒球が2個以上出る」確率

を求めればよい。いずれも超幾何分布で数える。

解法1

まず、3個の取り出し方の総数はどの箱でも

$$ {}_{10}\mathrm{C}_{3}=120 $$

である。

(1) 仮説 $H$ が正しいときの誤棄却確率

$H$ が正しいとは、指定した箱がAの箱であることを意味する。Aの箱には黒球8個、白球2個が入っている。

このとき仮説を棄却するのは、3個の中の黒球が1個以下のときである。

しかしAの箱には白球が2個しかないので、3個とも白球であることは不可能である。よって棄却となるのは、黒球1個・白球2個の場合だけである。

したがって、求める確率は

$$ \frac{{}_{8}\mathrm{C}_{1}{}_{2}\mathrm{C}_{2}}{{}_{10}\mathrm{C}_{3}} ============================================== # \frac{8}{120} \frac{1}{15} $$

である。

(2) 仮説 $H$ が正しくないときの誤採択確率

$H$ が正しくないとき、指定した箱はBまたはCである。

箱は外見から区別できず、A・B・Cの3箱から1つを指定しているので、$H$ が正しくないという条件のもとでは、指定した箱がBである確率とCである確率はそれぞれ

$$ \frac{1}{2} $$

である。

したがって、Bの場合とCの場合の誤採択確率をそれぞれ求めて平均すればよい。

Bの箱の場合

Bの箱には黒球4個、白球6個が入っている。

誤って採択するのは、黒球が2個以上出るときであるから、

$$ \frac{{}_{4}\mathrm{C}_{2}{}_{6}\mathrm{C}_{1}+{}_{4}\mathrm{C}_{3}{}_{6}\mathrm{C}_{0}}{{}_{10}\mathrm{C}_{3}} ======================================================================= # \frac{36+4}{120} # \frac{40}{120} \frac{1}{3} $$

となる。

Cの箱の場合

Cの箱には黒球3個、白球7個が入っている。

同様に、

$$ \frac{{}_{3}\mathrm{C}_{2}{}_{7}\mathrm{C}_{1}+{}_{3}\mathrm{C}_{3}{}_{7}\mathrm{C}_{0}}{{}_{10}\mathrm{C}_{3}} ======================================================================= # \frac{21+1}{120} # \frac{22}{120} \frac{11}{60} $$

となる。

よって、仮説 $H$ が正しくないときの誤採択確率は

$$ \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}+\frac{1}{2}\cdot \frac{11}{60} =========================================================== # \frac{20+11}{120} \frac{31}{120} $$

である。