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東北大学 1989年理系第3問解説

方針・初手

$t$ 秒後の水面の高さを $h(t)$ 、水の体積を $V(t)$ として、微分方程式を立てる。

(1) 水面の上昇速度 $\frac{dh}{dt}$ が与えられているので、これを $t$ で積分して $h(t)$ を求める。

(2) 水の体積に関する2つの表し方（時間 $t$ を用いた式と、高さ $y$ を用いた回転体の体積の式）を比較し、合成関数の微分（連鎖律）を用いて $f(y)$ を導く。

解法1

$t$ 秒後の水面の高さを $y = h(t)$、水の体積を $V$ とおく。

(1)

水面の上昇速度が $\frac{1}{\sqrt{1+t}}$ であるから、

$$\frac{dy}{dt} = \frac{1}{\sqrt{1+t}}$$

が成り立つ。これを $t$ について積分すると、

$$y = \int \frac{1}{\sqrt{1+t}} dt = 2\sqrt{1+t} + C \quad (C\text{ は積分定数})$$

$t=0$ のとき容器は空であり水面の高さは $0$ であるから、$y=0$ となる。

$$0 = 2\sqrt{1+0} + C$$

$$C = -2$$

したがって、$t$ 秒後の水面の高さは、

$$y = 2\sqrt{1+t} - 2$$

と表される。

水面の高さが $18\text{cm}$ になる時間を求めるので、$y=18$ を代入すると、

$$18 = 2\sqrt{1+t} - 2$$

$$20 = 2\sqrt{1+t}$$

$$\sqrt{1+t} = 10$$

両辺を2乗して、

$$1+t = 100$$

$$t = 99$$

よって、$99$秒後である。

(2)

水面の高さが $y$ のときの水の体積 $V$ は、曲線 $x=f(y)$ を $y$ 軸のまわりに回転してできる立体の体積であるから、

$$V = \int_{0}^{y} \pi \{f(u)\}^2 du$$

と表せる。これを $y$ で微分すると、

$$\frac{dV}{dy} = \pi \{f(y)\}^2$$

となる。

一方で、毎秒 $a \text{ cm}^3$ の割合で水を入れるので、時間 $t$ における水の体積 $V$ は、

$$V = at$$

と表せる。これを $t$ で微分すると、

$$\frac{dV}{dt} = a$$

となる。

ここで、合成関数の微分法（連鎖律）より、

$$\frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dy} \cdot \frac{dy}{dt}$$

が成り立つので、これまでに求めた式を代入すると、

$$a = \pi \{f(y)\}^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1+t}}$$

$$\pi \{f(y)\}^2 = a\sqrt{1+t}$$

(1) より $y = 2\sqrt{1+t} - 2$ であるから、$\sqrt{1+t}$ を $y$ で表すと、

$$\sqrt{1+t} = \frac{y+2}{2}$$

これを上の式に代入すると、

$$\pi \{f(y)\}^2 = a \cdot \frac{y+2}{2}$$

$$\{f(y)\}^2 = \frac{a(y+2)}{2\pi}$$

条件より $f(y) > 0$ であるから、

$$f(y) = \sqrt{\frac{a(y+2)}{2\pi}}$$

となる。

解説

回転体の体積と微分方程式を組み合わせた頻出問題である。「毎秒 $a \text{ cm}^3$ の割合で水を入れる」という条件を $\frac{dV}{dt} = a$ と数式化できるか、そして $\frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dy} \cdot \frac{dy}{dt}$ の関係式を正しく立てられるかがポイントとなる。立体の底面積 $S(y)$ を用いると $\frac{dV}{dy} = S(y)$ となる事実は、水槽問題における基本事項である。