東北大学 1995年 理系 第6問 解説

方針・初手

（1） は倍角公式を用いて $\dfrac{1}{\tan u}-\dfrac{1}{\tan 2u}$ を整理する。

（2） は （1） から $\tan x$ を $\cot x,\cot 2x$ で表す恒等式を作ると，級数が望ましい形に変形できて部分和が望ましく telescoping する。最後は $\lim_{x\to 0}\dfrac{\tan x}{x}=1$ を用いて極限を処理する。

解法1

まず （1） を求める。

$$ \frac{1}{\tan u}-\frac{1}{\tan 2u} =\frac{\cos u}{\sin u}-\frac{\cos 2u}{\sin 2u} =\frac{\cos u}{\sin u}-\frac{\cos 2u}{2\sin u\cos u} $$

したがって，

$$ \frac{1}{\tan u}-\frac{1}{\tan 2u} =\frac{2\cos^2 u-\cos 2u}{2\sin u\cos u} $$

ここで $\cos 2u=\cos^2 u-\sin^2 u$ であるから，

$$ 2\cos^2 u-\cos 2u =2\cos^2 u-(\cos^2 u-\sin^2 u) =\cos^2 u+\sin^2 u =1 $$

よって，

$$ \frac{1}{\tan u}-\frac{1}{\tan 2u} =\frac{1}{2\sin u\cos u} =\frac{1}{\sin 2u} $$

したがって （1） の答えは

$$ \frac{1}{\tan u}-\frac{1}{\tan 2u}=\frac{1}{\sin 2u} $$

である。

次に （2） を考える。

（1） の式を少し変形すると，

$$ \frac{1}{\tan u}-\frac{1}{\tan 2u}=\frac{1}{\sin 2u} $$

の両辺に $\tan u\cdot \tan 2u$ を掛けて

$$ \tan 2u-\tan u=\frac{\tan u\tan 2u}{\sin 2u} $$

としてもよいが，ここでは直接

$$ \tan u=\frac{\sin u}{\cos u} =\frac{1}{\tan u}-\frac{2}{\tan 2u} $$

を確認して用いる。実際，

$$ \frac{1}{\tan u}-\frac{2}{\tan 2u} =\frac{\cos u}{\sin u}-2\cdot \frac{\cos 2u}{\sin 2u} =\frac{\cos u}{\sin u}-\frac{\cos 2u}{\sin u\cos u} $$

であるから，

$$ \frac{1}{\tan u}-\frac{2}{\tan 2u} =\frac{\cos^2 u-\cos 2u}{\sin u\cos u} =\frac{\cos^2 u-(\cos^2 u-\sin^2 u)}{\sin u\cos u} =\frac{\sin u}{\cos u} =\tan u $$

となる。

この恒等式に $u=\dfrac{\theta}{2^n}$ を代入すると，

$$ \tan\frac{\theta}{2^n} =\cot\frac{\theta}{2^n}-2\cot\frac{\theta}{2^{n-1}} $$

よって各項は

$$ \frac{1}{2^n}\tan\frac{\theta}{2^n} =\frac{1}{2^n}\cot\frac{\theta}{2^n} -\frac{1}{2^{n-1}}\cot\frac{\theta}{2^{n-1}} $$

と書ける。

ここで部分和を

$$ S_N=\sum_{n=1}^N \frac{1}{2^n}\tan\frac{\theta}{2^n} $$

とおくと，

$$ \begin{aligned} S_N &=\sum_{n=1}^N\left( \frac{1}{2^n}\cot\frac{\theta}{2^n} -\frac{1}{2^{n-1}}\cot\frac{\theta}{2^{n-1}} \right) \\ &=\frac{1}{2^N}\cot\frac{\theta}{2^N}-\cot\theta \end{aligned} $$

となり，telescoping する。

したがって無限和 $S$ は

$$ S=\lim_{N\to\infty}S_N =\lim_{N\to\infty}\left( \frac{1}{2^N}\cot\frac{\theta}{2^N}-\cot\theta \right) $$

である。

ここで $x=\dfrac{\theta}{2^N}$ とおくと $N\to\infty$ で $x\to 0$ だから，

$$ \frac{1}{2^N}\cot\frac{\theta}{2^N} =\frac{1}{2^N}\cdot \frac{1}{\tan(\theta/2^N)} =\frac{1}{\theta}\cdot \frac{\theta/2^N}{\tan(\theta/2^N)} =\frac{1}{\theta}\cdot \frac{x}{\tan x} $$

となる。

与えられた

$$ \lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1 $$

より，

$$ \lim_{x\to 0}\frac{x}{\tan x}=1 $$

であるから，

$$ \lim_{N\to\infty}\frac{1}{2^N}\cot\frac{\theta}{2^N} =\frac{1}{\theta} $$

を得る。よって

$$ S=\frac{1}{\theta}-\cot\theta =\frac{1}{\theta}-\frac{1}{\tan\theta} $$

である。

解説

この問題の要点は，級数の各項をそのまま扱わず，（1） の結果から

$$ \tan u=\cot u-2\cot 2u $$

という形を作ることである。これにより

$$ \frac{1}{2^n}\tan\frac{\theta}{2^n} $$

が前後の項の差になり，部分和がきれいに消えていく。

最後に残る

$$ \frac{1}{2^N}\cot\frac{\theta}{2^N} $$

の極限は，単に $\cot x\sim \dfrac{1}{x}$ と見るのではなく，問題文の指示どおり

$$ \lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1 $$

から厳密に処理するのがポイントである。

答え

$$ \text{(1)}\quad \frac{1}{\tan u}-\frac{1}{\tan 2u}=\frac{1}{\sin 2u} $$

$$ \text{(2)}\quad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}\tan\frac{\theta}{2^n} =\frac{1}{\theta}-\cot\theta =\frac{1}{\theta}-\frac{1}{\tan\theta} $$