東北大学 2003年 理系 第3問 解説

方針・初手

漸化式

$$ a_{n+1}=\sqrt{4a_n-a_n^2}=\sqrt{4-(2-a_n)^2} $$

と変形すると，$2-a_n$ を直接評価できる形になる。

まず $0<a_n<2$ がすべての $n$ で成り立つことを帰納法で示し，その範囲で $a_{n+1}>a_n$ を確認する。つぎに $2-a_{n+1}$ を $2-a_n$ で評価し，最後はその評価から $2-a_n\to0$ を導く。

解法1

(1)

$a_n<2,\ a_n<a_{n+1}$ を示す。

初項は $a_1=c$ であり，仮定より

$$ 0<c<2 $$

である。

いま，ある $n$ で

$$ 0<a_n<2 $$

が成り立つと仮定する。このとき

$$ 4a_n-a_n^2=a_n(4-a_n)>0 $$

であり，さらに

$$ 4a_n-a_n^2=4-(2-a_n)^2<4 $$

であるから，

$$ 0<a_{n+1}=\sqrt{4a_n-a_n^2}<2 $$

となる。よって帰納法により，すべての $n$ で

$$ 0<a_n<2 $$

が成り立つ。

つぎに，$a_n<a_{n+1}$ を示す。$a_n>0,\ a_{n+1}>0$ であるから，両辺を二乗して比較してよい。すると

$$ a_{n+1}>a_n \iff 4a_n-a_n^2>a_n^2 \iff 4a_n>2a_n^2 \iff 2>a_n $$

となる。これはすでに示した $a_n<2$ により成り立つ。

したがって，すべての $n$ で

$$ a_n<2,\qquad a_n<a_{n+1} $$

である。

(2)

$$ 2-a_{n+1}<\frac{2-c}{2}(2-a_n) $$

を示す。

（1） より $a_{n+1}<2$ であるから $2-a_{n+1}>0$ であり，

$$ a_{n+1}=\sqrt{4-(2-a_n)^2} $$

を用いると

$$ 2-a_{n+1} =2-\sqrt{4-(2-a_n)^2} $$

である。ここで有理化すると，

$$ 2-a_{n+1} ========= # \frac{4-{4-(2-a_n)^2}}{2+\sqrt{4-(2-a_n)^2}} \frac{(2-a_n)^2}{2+a_{n+1}} $$

となる。$a_{n+1}>0$ であるから $2+a_{n+1}>2$ であり，

$$ 2-a_{n+1} < \frac{(2-a_n)^2}{2} $$

を得る。

また （1） より数列 ${a_n}$ は増加し，$a_1=c$ であるから

$$ a_n\ge c $$

であり，したがって

$$ 0<2-a_n\le 2-c $$

である。よって

$$ \frac{(2-a_n)^2}{2} \le \frac{2-c}{2}(2-a_n) $$

が成り立つ。

以上を合わせると，

$$ 2-a_{n+1} < \frac{2-c}{2}(2-a_n) $$

となる。

(3)

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n$ を求める。

（2） で

$$ r=\frac{2-c}{2} $$

とおくと，$0<c<2$ より

$$ 0<r<1 $$

であり，

$$ 2-a_{n+1}<r(2-a_n) $$

が成り立つ。これを繰り返し用いると，

$$ 0<2-a_n<r^{,n-1}(2-c)\qquad (n\ge2) $$

を得る。

ここで $0<r<1$ だから

$$ r^{,n-1}\to0\qquad (n\to\infty) $$

である。したがって

$$ 2-a_n\to0 $$

となり，

$$ a_n\to2 $$

である。

解説

この問題の要点は，漸化式をそのまま追うのではなく

$$ 4a_n-a_n^2=4-(2-a_n)^2 $$

と変形して，$2$ からのずれ $2-a_n$ を見ることである。

（1） では $0<a_n<2$ を保つことが本質であり，その範囲に入れば

$$ a_{n+1}>a_n \iff 2>a_n $$

がただちに出る。

（2） では有理化により $2-a_{n+1}$ を $(2-a_n)^2$ で抑えるのが典型処理である。さらに $a_n\ge c$ を使って $(2-a_n)$ を一様に $2-c$ で抑えると，等比的な縮小評価が得られる。これにより （3） の極限は直接求まる。

答え

$$ a_n<2,\qquad a_n<a_{n+1}\qquad (n=1,2,3,\dots) $$

であり，

$$ 2-a_{n+1}<\frac{2-c}{2}(2-a_n)\qquad (n=1,2,3,\dots) $$

が成り立つ。したがって

$$ \lim_{n\to\infty}a_n=2 $$

である。