東北大学 2009年 理系 第5問 解説

方針・初手

まず $M=AP$ とおくと，条件 $APA=P^2$ から $M^2=P^3$ が得られる。 ここで $M^2$ の非対角成分を調べると，$b,c$ と $ap+dq$ の間に制約が生じる。これを使ってまず $P^3A=AP^3$ を示し，その後 $p\neq q$ と $p=q$ に分けて $A$ を決定する。

解法1

$M=AP$ とおくと，

$$ M=AP= \begin{pmatrix} ap & bq\ cp & dq \end{pmatrix} $$

であり，条件 $APA=P^2$ より

$$ M^2=(AP)^2=APAP=(APA)P=P^2P=P^3 $$

となる。

したがって

$$ \begin{pmatrix} ap & bq\ cp & dq \end{pmatrix}^2 =============== \begin{pmatrix} p^3 & 0\ 0 & q^3 \end{pmatrix} $$

である。左辺を計算すると

$$ M^2= \begin{pmatrix} a^2p^2+bcpq & bq(ap+dq)\ cp(ap+dq) & bcpq+d^2q^2 \end{pmatrix} $$

だから，非対角成分を比較して

$$ b(ap+dq)=0,\qquad c(ap+dq)=0 $$

を得る。

(1) $P^3A=AP^3$ を示す

(i) $b=c=0$ のとき

このとき $A$ は対角行列であるから，対角行列 $P^3$ と可換であり，

$$ P^3A=AP^3 $$

が成り立つ。

(ii) $b,c$ の少なくとも一方が $0$ でないとき

このとき上の関係式より

$$ ap+dq=0 $$

である。よって $x=ap,\ y=bq,\ z=cp$ とおけば

$$ M= \begin{pmatrix} x & y\ z & -x \end{pmatrix} $$

となるから，

$$ M^2= \begin{pmatrix} x^2+yz & 0\ 0 & x^2+yz \end{pmatrix} $$

となり，$M^2$ はスカラー行列である。ところが $M^2=P^3$ であるから，

$$ P^3= \begin{pmatrix} p^3 & 0\ 0 & q^3 \end{pmatrix} $$

もスカラー行列でなければならない。したがって

$$ p^3=q^3 $$

であり，$p,q>0$ より

$$ p=q $$

を得る。このとき $P^3=p^3I$ はスカラー行列なので，やはり

$$ P^3A=AP^3 $$

が成り立つ。

以上より常に

$$ P^3A=AP^3 $$

である。

(2) $A$ を $p,q$ で表す

(1) より

$$ P^3A=AP^3 $$

である。両辺を成分で書くと

$$ \begin{pmatrix} p^3a & p^3b\ q^3c & q^3d \end{pmatrix} ============= \begin{pmatrix} p^3a & q^3b\ p^3c & q^3d \end{pmatrix} $$

だから，

$$ (p^3-q^3)b=0,\qquad (p^3-q^3)c=0 $$

を得る。

(i) $p\neq q$ のとき

このとき $p^3\neq q^3$ であるから，

$$ b=c=0 $$

となる。したがって

$$ A= \begin{pmatrix} a & 0\ 0 & d \end{pmatrix} $$

である。これを $APA=P^2$ に代入すると

$$ \begin{pmatrix} a & 0\ 0 & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p & 0\ 0 & q \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & 0\ 0 & d \end{pmatrix} ============= \begin{pmatrix} p^2 & 0\ 0 & q^2 \end{pmatrix} $$

より

$$ a^2p=p^2,\qquad d^2q=q^2 $$

すなわち

$$ a^2=p,\qquad d^2=q $$

である。よって

$$ a=\pm\sqrt{p},\qquad d=\pm\sqrt{q} $$

となる。さらに $ad-bc=ad>0$ より $a,d$ は同符号であるから，

$$ A= \begin{pmatrix} \sqrt{p} & 0\ 0 & \sqrt{q} \end{pmatrix} \quad\text{または}\quad A= \begin{pmatrix} -\sqrt{p} & 0\ 0 & -\sqrt{q} \end{pmatrix} $$

である。

(ii) $p=q$ のとき

$p=q=r$ とおくと $P=rI$ であり，条件 $APA=P^2$ は

$$ A(rI)A=r^2I $$

すなわち

$$ A^2=rI $$

となる。これを成分で書くと

$$ \begin{cases} a^2+bc=r,\ b(a+d)=0,\ c(a+d)=0,\ bc+d^2=r \end{cases} $$

である。

ここで $b,c$ の少なくとも一方が $0$ でないとすると $a+d=0$，すなわち $d=-a$ となる。すると

$$ \det A=ad-bc=-a^2-bc=-(a^2+bc)=-r<0 $$

となり，条件 $ad-bc>0$ に反する。したがって

$$ b=c=0 $$

である。よって

$$ a^2=d^2=r $$

であり，さらに $ad>0$ だから $a,d$ は同符号である。したがって

$$ A=\sqrt{r},I \quad\text{または}\quad A=-\sqrt{r},I $$

である。これは

$$ A= \begin{pmatrix} \sqrt{p} & 0\ 0 & \sqrt{q} \end{pmatrix} \quad\text{または}\quad A= \begin{pmatrix} -\sqrt{p} & 0\ 0 & -\sqrt{q} \end{pmatrix} $$

と一致する。

解説

この問題の核心は，条件 $APA=P^2$ をそのまま成分比較するのではなく，まず $M=AP$ とおいて

$$ M^2=P^3 $$

という形に直すことである。すると $M^2$ の非対角成分から $b,c$ と $ap+dq$ の関係が分かり，非対角成分が残るなら $P^3$ がスカラー行列でなければならないことが分かる。

その結果，$p\neq q$ なら $A$ は必ず対角行列になり，最後は $a^2=p,\ d^2=q$ を解くだけである。 また $p=q$ の場合も，$A^2=pI$ と行列式の符号条件を合わせると，やはり非対角成分は消える。

答え

$$ P^3A=AP^3 $$

また，

$$ A= \begin{pmatrix} \sqrt{p} & 0\ 0 & \sqrt{q} \end{pmatrix} \quad\text{または}\quad A= \begin{pmatrix} -\sqrt{p} & 0\ 0 & -\sqrt{q} \end{pmatrix} $$

である。