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東北大学 1994年理系第5問解説

方針・初手

(1) 原点を中心とする点の回転移動であるため、回転行列または複素数平面を利用して移動後の座標を $x$ と $f(x)$ を用いて表す。

(2) (1) で求めた $y$ 座標を問題文で与えられた積分方程式に代入する。定積分を含む方程式から関数を決定する定石通り、両辺を $x$ で微分して微分方程式を導出する。

(3) (2) で得られた微分方程式は変数分離形の1階線形微分方程式である。これを解いて一般解を求めた後、(2) で用いた元の積分方程式に $x=0$ を代入して得られる初期条件から積分定数を決定する。

解法1

(1) 点 $P(x, f(x))$ を原点のまわりに $30^\circ$ 回転させた点が $P_1$ である。点 $P_1$ の座標を $(X, Y)$ とすると、回転移動の公式より以下の関係が成り立つ。

$$ \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos 30^\circ & -\sin 30^\circ \\ \sin 30^\circ & \cos 30^\circ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ f(x) \end{pmatrix} $$

これを計算すると、

$$ \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ f(x) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2}x - \frac{1}{2}f(x) \\ \frac{1}{2}x + \frac{\sqrt{3}}{2}f(x) \end{pmatrix} $$

よって、点 $P_1$ の座標は $\left( \frac{\sqrt{3}}{2}x - \frac{1}{2}f(x), \frac{1}{2}x + \frac{\sqrt{3}}{2}f(x) \right)$ である。

(2) (1) の結果より、点 $P_1$ の $y$ 座標は $\frac{1}{2}x + \frac{\sqrt{3}}{2}f(x)$ である。これが $1 + \int_0^x f(t) dt$ に等しいので、次の方程式が成り立つ。

$$ \frac{1}{2}x + \frac{\sqrt{3}}{2}f(x) = 1 + \int_0^x f(t) dt \cdots \text{①} $$

関数 $f(x)$ は微分可能であるから、①の両辺を $x$ で微分すると、

$$ \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}f'(x) = f(x) $$

式を整理して、求める微分方程式は以下のようになる。

$$ \sqrt{3}f'(x) - 2f(x) = -1 $$

(3) (2) で求めた微分方程式を変形すると、

$$ f'(x) = \frac{2}{\sqrt{3}} f(x) - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \left( f(x) - \frac{1}{2} \right) $$

定数関数 $f(x) = \frac{1}{2}$ は①を満たさないため、$f(x) \neq \frac{1}{2}$ としてよい。両辺を $f(x) - \frac{1}{2}$ で割ると、

$$ \frac{f'(x)}{f(x) - \frac{1}{2}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} $$

両辺を $x$ で積分すると、

$$ \int \frac{f'(x)}{f(x) - \frac{1}{2}} dx = \int \frac{2\sqrt{3}}{3} dx $$

$$ \log \left| f(x) - \frac{1}{2} \right| = \frac{2\sqrt{3}}{3} x + C_1 \quad (C_1 \text{ は積分定数}) $$

対数の定義より、

$$ f(x) - \frac{1}{2} = \pm e^{C_1} e^{\frac{2\sqrt{3}}{3} x} $$

ここで、$C = \pm e^{C_1}$ とおくと、$C$ は $0$ でない任意定数であり、

$$ f(x) = C e^{\frac{2\sqrt{3}}{3} x} + \frac{1}{2} \cdots \text{②} $$

と表せる。一方、元の積分方程式①の両辺に $x=0$ を代入すると、

$$ \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{\sqrt{3}}{2}f(0) = 1 + 0 $$

$$ \frac{\sqrt{3}}{2}f(0) = 1 \implies f(0) = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} $$

これが初期条件となる。これを②に代入すると、

$$ C e^0 + \frac{1}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{3} $$

$$ C = \frac{2\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{2} = \frac{4\sqrt{3} - 3}{6} $$

したがって、求める関数 $f(x)$ は、

$$ f(x) = \frac{4\sqrt{3} - 3}{6} e^{\frac{2\sqrt{3}}{3} x} + \frac{1}{2} $$

解説

図形の回転移動、定積分を含む方程式の微分、そして微分方程式の解法という理系数学の重要なテーマが組み合わさった標準的な問題である。 (1) は回転行列だけでなく、複素数平面における乗法や、三角関数の加法定理を用いても同様に導出できる。 (2) は微積分学の基本定理 $\frac{d}{dx} \int_a^x f(t) dt = f(x)$ を用いる典型的な処理である。 (3) は大学の微分方程式の初歩であるが、高校数学の範囲では $f(x) - \alpha = C e^{kx}$ の形に変形して微分方程式を満たす関数を推定する定石を用いる。積分定数を決定するためには、微分する前の元の方程式に積分区間の下端である $x=0$ を代入して初期条件を自ら見つけ出す必要がある点に注意したい。