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東北大学 2010年理系第6問解説

方針・初手

正六角形 $X$ の頂点を

$$ P_0=P=(1,0),\quad P_1=\left(\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right),\quad P_2=\left(-\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right), $$

$$ P_3=(-1,0),\quad P_4=\left(-\frac12,-\frac{\sqrt3}{2}\right),\quad P_5=\left(\frac12,-\frac{\sqrt3}{2}\right) $$

とおく。

まず（1）では $AP=P$ を用いて $A$ の第1列を固定し，$P_1,P_5$ の像を調べる。ここで $P_1+P_5=P$ であることが効く。

つぎに（2）では，$P$ を移した先の頂点を $P_k$ とし，$-k\pi/3$ 回転を合成して（1）に帰着する。

解法1

（1） $AP=P$ のとき

$AP=P=(1,0)$ であるから，

$$ A\begin{pmatrix}1\0\end{pmatrix} ================================ \begin{pmatrix}1\0\end{pmatrix} $$

より，$A$ は

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & a\ 0 & b \end{pmatrix} $$

の形である。

ここで

$$ Q=AP_1 $$

とおく。$P_1+P_5=P$ だから，

$$ AP_5=A(P-P_1)=P-Q $$

となる。仮定より，$Q$ も $P-Q$ もともに正六角形 $X$ の辺上の点である。

$Q=(x,y)$ とおく。$Q$ と $P-Q=(1-x,-y)$ は対称な位置にあるので，必要なら $Q$ と $P-Q$ を入れ替えて $y\geqq 0$ としてよい。

正六角形 $X$ の上半分の辺上の点は，$0\leqq y\leqq \sqrt3/2$ に対して次のように表される。

$0\leqq y<\sqrt3/2$ のとき $x=1-\dfrac{y}{\sqrt3}$ または $x=-1+\dfrac{y}{\sqrt3}$
$y=\sqrt3/2$ のとき $-\dfrac12\leqq x\leqq \dfrac12$

まず $0\leqq y<\sqrt3/2$ と仮定する。

(i)

$Q$ が右上の辺上にあるとすると，

$$ x=1-\frac{y}{\sqrt3} $$

である。このとき

$$ P-Q=\left(\frac{y}{\sqrt3},-y\right) $$

となるが，$-y$ を高さにもつ下半分の辺上の点の $x$ 座標は

$$ 1-\frac{y}{\sqrt3}\quad \text{または}\quad -1+\frac{y}{\sqrt3} $$

でなければならない。したがって

$$ \frac{y}{\sqrt3}=1-\frac{y}{\sqrt3} \quad \text{または}\quad \frac{y}{\sqrt3}=-1+\frac{y}{\sqrt3} $$

である必要がある。後者は不可能，前者は

$$ y=\frac{\sqrt3}{2} $$

を与え，$y<\sqrt3/2$ に反する。

(ii)

$Q$ が左上の辺上にあるとすると，

$$ x=-1+\frac{y}{\sqrt3} $$

であり，

$$ P-Q=\left(2-\frac{y}{\sqrt3},-y\right) $$

となる。しかし $0\leqq y<\sqrt3/2$ なら

$$ 2-\frac{y}{\sqrt3}>1 $$

であり，これは正六角形の辺上にはありえない。

以上より $0\leqq y<\sqrt3/2$ は不可能である。したがって

$$ y=\frac{\sqrt3}{2} $$

である。

すると $Q$ は上辺上，$P-Q$ は下辺上にあるから，

$$ -\frac12\leqq x\leqq \frac12,\qquad -\frac12\leqq 1-x\leqq \frac12 $$

を満たす。後式から $1/2\leqq x\leqq 3/2$ なので，両者を合わせると

$$ x=\frac12 $$

となる。よって

$$ Q=\left(\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right)=P_1 $$

であり，

$$ P-Q=\left(\frac12,-\frac{\sqrt3}{2}\right)=P_5 $$

である。

入れ替えて考えた場合も含めると，

$$ {AP_1,AP_5}={P_1,P_5} $$

が分かる。

ここで $P$ と $P_1$ は一次独立なので，$A$ は $AP,AP_1$ によって一意に定まる。

(a)

$AP_1=P_1$ のとき $A$ は $P,P_1$ をともに固定するから

$$ A=I= \begin{pmatrix} 1&0\ 0&1 \end{pmatrix} $$

である。このとき当然，すべての頂点は自分自身に移る。

(b)

$AP_1=P_5$ のとき $A$ は $P=(1,0)$ を固定し，$P_1$ を $P_5$ に移す。したがって

$$ A= \begin{pmatrix} 1&0\ 0&-1 \end{pmatrix} $$

である。これは $x$ 軸対称なので，

$$ P_0\mapsto P_0,\quad P_1\mapsto P_5,\quad P_2\mapsto P_4,\quad P_3\mapsto P_3,\quad P_4\mapsto P_2,\quad P_5\mapsto P_1 $$

となり，やはり各頂点は頂点に移る。

以上より，（1）のとき

$$ A= \begin{pmatrix} 1&0\ 0&1 \end{pmatrix} \quad \text{または}\quad A= \begin{pmatrix} 1&0\ 0&-1 \end{pmatrix} $$

である。

（2） $AP$ がある頂点に移るとき

$AP=P_k$ とする。ただし $k=0,1,\dots,5$ である。

原点中心の $-k\pi/3$ 回転を表す行列を

$$ R_{-k}= \begin{pmatrix} \cos\frac{k\pi}{3} & \sin\frac{k\pi}{3}\ -\sin\frac{k\pi}{3} & \cos\frac{k\pi}{3} \end{pmatrix} $$

とし，

$$ B=R_{-k}A $$

とおく。$R_{-k}$ は正六角形 $X$ を自分自身に移すから，$X$ の各頂点の $A$ による像が辺上にあるなら，その $R_{-k}$ による像もやはり辺上にある。したがって $B$ も（1）の条件を満たす。

しかも

$$ BP=R_{-k}(AP)=R_{-k}P_k=P $$

であるから，（1）より

$$ B=I \quad \text{または}\quad B= \begin{pmatrix} 1&0\ 0&-1 \end{pmatrix} =:S $$

である。

ゆえに

$$ A=R_k \quad \text{または}\quad A=R_kS \qquad (k=0,1,\dots,5) $$

となる。ただし

$$ R_k= \begin{pmatrix} \cos\frac{k\pi}{3} & -\sin\frac{k\pi}{3}\ \sin\frac{k\pi}{3} & \cos\frac{k\pi}{3} \end{pmatrix} $$

である。

これらはいずれも正六角形の回転または対称移動を表すので，どの場合も $X$ の各頂点は $X$ のいずれかの頂点に移る。

したがって，（2）のときの $A$ はちょうど

$$ A= \begin{pmatrix} \cos\frac{k\pi}{3} & -\sin\frac{k\pi}{3}\ \sin\frac{k\pi}{3} & \cos\frac{k\pi}{3} \end{pmatrix} \quad \text{または}\quad A= \begin{pmatrix} \cos\frac{k\pi}{3} & \sin\frac{k\pi}{3}\ \sin\frac{k\pi}{3} & -\cos\frac{k\pi}{3} \end{pmatrix} \qquad (k=0,1,\dots,5) $$

の $12$ 個である。