東北大学 2009年 理系 第4問 解説

方針・初手

$f(\theta)$ は $\sin \theta$ と $\sin (\theta-2a)$ のうち大きいほうである。したがって，まず

$$ \sin \theta-\sin(\theta-2a) $$

の符号を調べ，$[0,\pi]$ のどこでどちらを採用すればよいかを決める。その後，区間を分けて積分すればよい。

解法1

$\sin \theta$ と $\sin(\theta-2a)$ の差をとると，

$$ \sin \theta-\sin(\theta-2a) =2\cos!\left(\theta-a\right)\sin a $$

である。

ここで $0\le a\le \dfrac{\pi}{2}$ より $\sin a\ge 0$ であるから，不等式

$$ \sin \theta\ge \sin(\theta-2a) $$

は

$$ \cos(\theta-a)\ge 0 $$

と同値である。

$\cos(\theta-a)\ge 0$ となるのは

$$ -\frac{\pi}{2}\le \theta-a\le \frac{\pi}{2} $$

すなわち

$$ a-\frac{\pi}{2}\le \theta\le a+\frac{\pi}{2} $$

である。しかも $0\le a\le \dfrac{\pi}{2}$ なので，

$$ a-\frac{\pi}{2}\le 0,\qquad a+\frac{\pi}{2}\le \pi $$

が成り立つ。したがって，積分区間 $[0,\pi]$ では

$$ \begin{cases} 0\le \theta\le a+\dfrac{\pi}{2} &\text{のとき } f(\theta)=\sin\theta,\ a+\dfrac{\pi}{2}\le \theta\le \pi &\text{のとき } f(\theta)=\sin(\theta-2a) \end{cases} $$

となる。

よって

$$ I=\int_0^{a+\pi/2}\sin\theta,d\theta+\int_{a+\pi/2}^{\pi}\sin(\theta-2a),d\theta $$

である。

第1項は

$$ \int_0^{a+\pi/2}\sin\theta,d\theta =\left[-\cos\theta\right]_0^{a+\pi/2} =1-\cos\left(a+\frac{\pi}{2}\right) =1+\sin a $$

となる。

第2項は

$$ \int_{a+\pi/2}^{\pi}\sin(\theta-2a),d\theta =\left[-\cos(\theta-2a)\right]_{a+\pi/2}^{\pi} $$

より，

$$ =-\cos(\pi-2a)+\cos\left(\frac{\pi}{2}-a\right) =\cos 2a+\sin a $$

である。

したがって

$$ I=(1+\sin a)+(\cos 2a+\sin a) =1+2\sin a+\cos 2a $$

ゆえに

$$ I=2+2\sin a-2\sin^2 a $$

を得る。

次に，これを最大にする $a$ を求める。$x=\sin a$ とおくと $0\le x\le 1$ で，

$$ I=2+2x-2x^2 $$

となる。これを平方完成すると，

$$ I=-2\left(x-\frac12\right)^2+\frac52 $$

であるから，最大値は

$$ \frac52 $$

であり，これは

$$ x=\frac12 $$

すなわち

$$ \sin a=\frac12 $$

のときに達成される。$0\le a\le \dfrac{\pi}{2}$ より，

$$ a=\frac{\pi}{6} $$

である。

解説

この問題の要点は，$f(\theta)$ を直接扱うのではなく，まず

$$ \sin\theta-\sin(\theta-2a) $$

の符号を調べて，どちらの関数が大きいかを判定することである。加法定理によって差が

$$ 2\cos(\theta-a)\sin a $$

と因数分解できるので，$a$ の条件 $0\le a\le \dfrac{\pi}{2}$ を使えば符号判定が一気に簡単になる。

その後は区間を1回だけ分けて積分すればよい。最大値の問題も，$\sin a$ を1つの文字に置けば2次関数の最大値に帰着する。

答え

(1)

$$ I=1+2\sin a+\cos 2a=2+2\sin a-2\sin^2 a $$

(2)

$$ I_{\max}=\frac52 $$

であり，これは

$$ a=\frac{\pi}{6} $$

のときに達成される。