トップ› 東京工業大学› 2009年› 理系第2問

東京工業大学 2009年理系第2問解説

方針・初手

直線 $L$ が点 $(0, 1)$ を通ることを利用して、$L$ の方程式またはベクトル表示を設定する。その直線上の任意の点 $Q$ に対して、1次変換による像 $f(Q)$ も同じ直線上にあるという条件を数式化し、$a$ についての条件を導く。方程式を用いた恒等式の係数比較、またはベクトル表示を用いたアプローチが有効である。

解法1

直線 $L$ は点 $(0, 1)$ を通るため、その方程式は $p, q$ を用いて次のように表せる。

$$ p(x - 0) + q(y - 1) = 0 \iff px + qy - q = 0 \quad (\text{ただし、} (p, q) \neq (0, 0)) $$

条件(2)より、点 $Q(x, y)$ が $L$ 上にあるならば、その像 $f(Q)$ の座標 $(X, Y)$ も $L$ 上にある。 $f$ の定義より $X = ax + (a - 2)y$、$Y = (a - 2)x + ay$ であるから、これを $L$ の方程式に代入して整理する。

$$ p\{ax + (a - 2)y\} + q\{(a - 2)x + ay\} - q = 0 $$

$$ \{ap + (a - 2)q\}x + \{(a - 2)p + aq\}y - q = 0 $$

点 $Q(x, y)$ は直線 $px + qy - q = 0$ 上の任意の点であるから、上の式が表す直線は $L$ と一致する。したがって、ある実数 $k$ が存在して、各係数について以下の関係式が成り立つ。

$$ \begin{cases} ap + (a - 2)q = kp \\ (a - 2)p + aq = kq \\ -q = -kq \end{cases} $$

第3式より $q(k - 1) = 0$ であるから、$q = 0$ または $k = 1$ となる。

(i)

$q = 0$ のとき

$(p, q) \neq (0, 0)$ より $p \neq 0$ である。 $q = 0$ を第2式に代入すると $(a - 2)p = 0$ となる。$p \neq 0$ より $a = 2$ である。このとき第1式は $2p = kp$ となり、$k = 2$ とすれば全ての式を満たす。

(ii)

$k = 1$ のとき

第1式と第2式はそれぞれ次のように変形できる。

$$ \begin{cases} (a - 1)p + (a - 2)q = 0 \\ (a - 2)p + (a - 1)q = 0 \end{cases} $$

$(p, q) \neq (0, 0)$ がこの同次連立1次方程式を満たすための必要十分条件は、係数行列の行列式が $0$ になることである。

$$ (a - 1)^2 - (a - 2)^2 = 0 $$

$$ (a^2 - 2a + 1) - (a^2 - 4a + 4) = 0 $$

$$ 2a - 3 = 0 $$

よって、$a = \frac{3}{2}$ である。（このとき $p - q = 0$ となり、$p = q$。例えば $p=1, q=1$ とすれば $(p, q) \neq (0, 0)$ を満たし、条件を満たす直線 $L: x+y-1=0$ が存在する。）

以上より、求める $a$ の値は $a = 2, \frac{3}{2}$ である。

解法2

1次変換 $f$ の表現行列を $A = \begin{pmatrix} a & a - 2 \\ a - 2 & a \end{pmatrix}$ とする。直線 $L$ は点 $(0, 1)$ を通るため、その方向ベクトルを $\vec{d}$（$\vec{d} \neq \vec{0}$）とすると、$L$ 上の点 $Q$ の位置ベクトル $\vec{q}$ は実数 $t$ を用いて次のように表せる。

$$ \vec{q} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} + t\vec{d} $$

この点 $Q$ の $f$ による像 $f(Q)$ の位置ベクトルは $A\vec{q}$ である。

$$ A\vec{q} = A\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} + tA\vec{d} = \begin{pmatrix} a - 2 \\ a \end{pmatrix} + tA\vec{d} $$

条件(2)は、任意の $t$ に対して $f(Q)$ が $L$ 上にあることである。これは次の2条件が同時に成り立つことと同値である。

（A）基準となる点 $\begin{pmatrix} a - 2 \\ a \end{pmatrix}$ が $L$ 上にある。

（B）方向ベクトル $A\vec{d}$ が $\vec{d}$ と平行であるか、または零ベクトルである。

まず条件(A)について考える。$L$ は点 $(0, 1)$ を通るため、2点の差であるベクトル $\begin{pmatrix} a - 2 \\ a \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a - 2 \\ a - 1 \end{pmatrix}$ は、$L$ の方向ベクトル $\vec{d}$ と平行であるか、または零ベクトルである。もし零ベクトルであると仮定すると $a - 2 = 0$ かつ $a - 1 = 0$ となり矛盾する。よって零ベクトルではないため、$L$ の方向ベクトルを $\vec{d} = \begin{pmatrix} a - 2 \\ a - 1 \end{pmatrix}$ と定めることができる。

次に条件(B)について考える。$A\vec{d}$ が $\vec{d}$ と平行になる条件を求める。

$$ A\vec{d} = \begin{pmatrix} a & a - 2 \\ a - 2 & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a - 2 \\ a - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a(a - 2) + (a - 2)(a - 1) \\ (a - 2)^2 + a(a - 1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (a - 2)(2a - 1) \\ 2a^2 - 5a + 4 \end{pmatrix} $$

このベクトルが $\vec{d} = \begin{pmatrix} a - 2 \\ a - 1 \end{pmatrix}$ と平行になるため、$x$ 成分と $y$ 成分のたすき掛けが等しくなる。

$$ (a - 2)(2a - 1)(a - 1) - (2a^2 - 5a + 4)(a - 2) = 0 $$

$$ (a - 2) \{(2a^2 - 3a + 1) - (2a^2 - 5a + 4)\} = 0 $$

$$ (a - 2)(2a - 3) = 0 $$

よって、$a = 2, \frac{3}{2}$ である。

逆にこのとき、 $a = 2$ ならば $\vec{d} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ となり $A\vec{d} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix} = 2\vec{d}$ $a = \frac{3}{2}$ ならば $\vec{d} = \begin{pmatrix} -1/2 \\ 1/2 \end{pmatrix}$ となり $A\vec{d} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} = 2\vec{d}$ となるため、いずれも方向ベクトルが定数倍されて条件(B)を満たし、十分である。

解説

本問は、1次変換において直線全体が再び元の直線上へ写される「不変直線」が存在するための条件を求める問題である。解法1のように直線の方程式を立てて恒等式の係数比較に持ち込むアプローチと、解法2のようにベクトル表現を用いて固有ベクトルの考え方に帰着させるアプローチがある。解法1では、定数項の比較から得られる $q(k - 1) = 0$ において、$k = 1$ の場合だけでなく $q = 0$ の場合（$y$ 軸に平行な直線）を見落とさないように注意が必要である。この場合分けが $a=2$ という解に直結している。