東北大学 2012年 理系 第2問 解説

方針・初手

直線 $y=mx$ の方向ベクトルを正規化し，その方向成分は不変，それに垂直な成分は符号反転することから $g$ の行列を求める。

つぎに，直線 $y=x$ に関する対称移動の行列はすぐ書けるので，合成変換 $g\circ f$ の行列は積で求まる。

最後は，$B$ が 2 つの対称移動の合成であることから回転行列になる点を用いて，$B^3=I$ を満たす条件を調べる。

解法1

直線 $y=mx$ に平行な単位ベクトルを

$$ u=\frac{1}{\sqrt{1+m^2}}{}_{1}\mathrm{C}_{m} $$

とする。

また，これに垂直な単位ベクトルとして

$$ v=\frac{1}{\sqrt{1+m^2}}{}_{-m}\mathrm{C}_{1} $$

をとる。

直線 $y=mx$ に関する対称移動 $g$ は，直線方向の成分を保ち，垂直方向の成分の符号を反転するから，

$$ g(u)=u,\qquad g(v)=-v $$

である。したがって，$g$ を表す行列 $A$ は

$$ A=2uu^{\mathrm T}-I $$

で与えられる。実際に計算すると，

$$ A = 2\cdot \frac{1}{1+m^2} \begin{pmatrix} 1\ m \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&m \end{pmatrix} ------------- \begin{pmatrix} 1&0\ 0&1 \end{pmatrix} $$

より，

$$ A=\frac{1}{1+m^2} \begin{pmatrix} 1-m^2 & 2m\ 2m & m^2-1 \end{pmatrix} $$

となる。これが （1） の答えである。

つぎに，直線 $y=x$ に関する対称移動 $f$ を表す行列は

$$ F= \begin{pmatrix} 0&1\ 1&0 \end{pmatrix} $$

である。

よって，合成変換 $g\circ f$ を表す行列 $B$ は

$$ B=AF $$

であり，

$$ B= \frac{1}{1+m^2} \begin{pmatrix} 1-m^2 & 2m\ 2m & m^2-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0&1\ 1&0 \end{pmatrix} ============= \frac{1}{1+m^2} \begin{pmatrix} 2m & 1-m^2\ m^2-1 & 2m \end{pmatrix} $$

となる。これが （2） の答えである。

最後に （3） を考える。

$A,F$ はともに対称移動を表す行列であるから直交行列であり，

$$ \det A=\det F=-1 $$

である。したがって

$$ B=AF $$

は

$$ B^{\mathrm T}B=I,\qquad \det B=1 $$

を満たす。ゆえに $B$ は回転行列である。

その回転角を $\theta$ とすると，回転行列の跡は $2\cos\theta$ であるから，

$$ 2\cos\theta=\operatorname{tr}(B)=\frac{4m}{1+m^2} $$

である。

ここで $B^3=I$ となるのは，この回転を 3 回行うと元に戻るときであるから，

$$ 3\theta\equiv 0 \pmod{2\pi} $$

すなわち

$$ \theta\equiv 0,\ \frac{2\pi}{3},\ \frac{4\pi}{3}\pmod{2\pi} $$

のときである。したがって

$$ \cos\theta=1 \quad \text{または} \quad \cos\theta=-\frac12 $$

となるから，

$$ \frac{4m}{1+m^2}=2 \quad \text{または} \quad \frac{4m}{1+m^2}=-1 $$

を解けばよい。

(i)

$\displaystyle \frac{4m}{1+m^2}=2$ のとき，

$$ 4m=2(1+m^2) $$

より，

$$ m^2-2m+1=0 $$

したがって，

$$ m=1 $$

である。

(ii)

$\displaystyle \frac{4m}{1+m^2}=-1$ のとき，

$$ 4m=-(1+m^2) $$

より，

$$ m^2+4m+1=0 $$

したがって，

$$ m=-2\pm\sqrt{3} $$

である。

以上より，

$$ B^3=I $$

となる $m$ は

$$ m=1,\ -2+\sqrt{3},\ -2-\sqrt{3} $$

である。

解説

直線に関する対称移動は，その直線方向の成分を保ち，垂直方向の成分だけを反転する。この性質を使えば，反射行列は標準的に求められる。

また，平面における 2 つの対称移動の合成は回転になる。したがって （3） は $B$ を直接 3 乗して調べるよりも，$B$ が回転行列であることを見抜き，その回転角に注目して処理するのが本質である。

答え

$$ A=\frac{1}{1+m^2} \begin{pmatrix} 1-m^2 & 2m\ 2m & m^2-1 \end{pmatrix} $$

$$ B=\frac{1}{1+m^2} \begin{pmatrix} 2m & 1-m^2\ m^2-1 & 2m \end{pmatrix} $$

$$ B^3=I \text{ となる } m \text{ は } m=1,\ -2+\sqrt{3},\ -2-\sqrt{3} $$