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東京工業大学 1963年理系第2問解説

方針・初手

示すべき不等式 $(2x-1)^2 < 4a(1+a)$ を展開すると $4x^2 - 4x + 1 < 4a^2 + 4a$ となる。これを少し変形して $(2x-1)^2 \leqq 4ax$ と $4ax < 4a(1+a)$ の2段階に分けて証明することを目標とする。与えられた条件式から $y$ を消去し、$x$ と $a$ のみの不等式を導く。その際、$y > 0$ であることを用いて不等号の向きや隠れた範囲を引き出すことが重要である。

解法1

与えられた条件は以下の通りである。

$$ x > 0, y > 0, a > 0 $$

$$ x+y \leqq 1+a \quad \cdots \text{(1)} $$

$$ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \leqq 4(1+a) \quad \cdots \text{(2)} $$

条件(2)を $\frac{1}{y}$ について解くと、

$$ \frac{1}{y} \leqq 4(1+a) - \frac{1}{x} = \frac{4x(1+a)-1}{x} $$

ここで、$y>0$ より $\frac{1}{y} > 0$ であり、$x>0$ であるから、右辺の分子について以下が成り立つ。

$$ 4x(1+a) - 1 > 0 $$

両辺ともに正であるから、逆数をとって不等号の向きを反転させると、

$$ y \geqq \frac{x}{4x(1+a)-1} $$

を得る。これと条件(1)より $y \leqq 1+a-x$ であるから、

$$ \frac{x}{4x(1+a)-1} \leqq 1+a-x $$

$4x(1+a)-1 > 0$ より、両辺に $4x(1+a)-1$ を掛けても不等号の向きは変わらない。

$$ x \leqq (1+a-x)\{4x(1+a)-1\} $$

右辺を展開する。

$$ x \leqq 4x(1+a)^2 - (1+a) - 4x^2(1+a) + x $$

両辺から $x$ を引き、整理する。

$$ 0 \leqq 4x(1+a)^2 - (1+a) - 4x^2(1+a) $$

$a>0$ より $1+a > 0$ であるから、両辺を $1+a$ で割る。

$$ 0 \leqq 4x(1+a) - 1 - 4x^2 $$

$$ 4x^2 - 4(1+a)x + 1 \leqq 0 $$

これを $x$ についてまとめ直す。

$$ 4x^2 - 4x + 1 \leqq 4ax $$

$$ (2x-1)^2 \leqq 4ax \quad \cdots \text{(3)} $$

次に、条件(1) $x+y \leqq 1+a$ において $y>0$ であるから、

$$ x < 1+a $$

が成り立つ。$a>0$ より $4a > 0$ であるから、両辺に $4a$ を掛ける。

$$ 4ax < 4a(1+a) \quad \cdots \text{(4)} $$

不等式(3)と(4)より、

$$ (2x-1)^2 \leqq 4ax < 4a(1+a) $$

したがって、

$$ (2x-1)^2 < 4a(1+a) $$

が成り立つ。

解法2

$x+y = s, xy = t$ とおく。

条件より $x>0, y>0$ であるから $s>0, t>0$ であり、条件(1)より以下が成り立つ。

$$ s \leqq 1+a $$

条件(2)を通分すると $\frac{x+y}{xy} \leqq 4(1+a)$ となるため、

$$ \frac{s}{t} \leqq 4(1+a) $$

$s>0, 1+a>0$ よりこれを $t$ について解くと、

$$ t \geqq \frac{s}{4(1+a)} \quad \cdots \text{(5)} $$

ここで、$y = s-x$ を $t=xy$ に代入すると $t = x(s-x) = sx - x^2$ となる。これを(5)に代入する。

$$ sx - x^2 \geqq \frac{s}{4(1+a)} $$

両辺に $4(1+a) > 0$ を掛けて整理する。

$$ 4(1+a)x^2 \leqq 4s(1+a)x - s $$

$$ 4(1+a)x^2 \leqq s\{4(1+a)x - 1\} \quad \cdots \text{(6)} $$

また、条件(2)において $\frac{1}{y} > 0$ であるため、

$$ \frac{1}{x} < \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \leqq 4(1+a) $$

よって $\frac{1}{x} < 4(1+a)$ であり、$x>0$ より $4(1+a)x - 1 > 0$ であることがわかる。

これと $s \leqq 1+a$ を用いると、不等式(6)の右辺は次のように評価できる。

$$ s\{4(1+a)x - 1\} \leqq (1+a)\{4(1+a)x - 1\} $$

(6)と合わせると、

$$ 4(1+a)x^2 \leqq (1+a)\{4(1+a)x - 1\} $$

$1+a > 0$ で割って展開する。

$$ 4x^2 \leqq 4(1+a)x - 1 $$

$$ 4x^2 - 4x + 1 \leqq 4ax $$

$$ (2x-1)^2 \leqq 4ax $$

以降は解法1と同様に、$x+y \leqq 1+a$ と $y>0$ から $x < 1+a$ を導き、$4ax < 4a(1+a)$ と繋ぐことで示される。

解説

示すべき式 $(2x-1)^2 < 4a(1+a)$ をそのままの形で導こうとすると見通しが悪くなる。展開して $4x^2 - 4x + 1 < 4a^2 + 4a$ とし、$(2x-1)^2 \leqq 4ax$ と $4ax < 4a(1+a)$ のように中間目標となる式（本問では $4ax$）を自分で設定して不等式を繋ぐという発想が重要である。

また、不等式の証明において文字を消去する際、「消去される文字が持つ条件」を「残る文字の範囲」として反映させ忘れないように注意したい。本問では $y$ を消去する過程で $y>0$ から得られる $4(1+a)x - 1 > 0$ や $x < 1+a$ という隠れた条件が最後まで効いてくる。