東京工業大学 1964年 理系 第3問 解説

方針・初手

頂点に向かって連なる円の半径が等比数列をなすことに着目する。相似性や直角三角形を用いた三角比の計算により、隣り合う円の半径の比（公比）を求め、無限等比級数の和として各頂点へ向かう円の面積の総和を計算する。

解法1

最初の内接円を $O_0$ とし、その半径を $r$ とする。 頂点 $A$ に向かって $n$ 番目に描かれる円を $O_{A,n}$、その半径を $r_{A,n}$ とする（$n=1,2,\dots$）。便宜上、$r_{A,0} = r$ とする。

頂点 $A$ と円 $O_{A,n}$ の中心を結ぶ線分は、$\angle A$ の二等分線である。 頂点 $A$ から円 $O_{A,n}$ の中心までの距離を $l_n$ とすると、この中心から辺に下ろした垂線とでできる直角三角形に着目して、

$$ l_n \sin \frac{A}{2} = r_{A,n} $$

より、

$$ l_n = \frac{r_{A,n}}{\sin \frac{A}{2}} $$

である。

円 $O_{A,n}$ と $O_{A,n+1}$ は外接しているため、中心間の距離は $r_{A,n} + r_{A,n+1}$ である。 したがって、頂点 $A$ から各中心までの距離の差を考えて、

$$ l_n - l_{n+1} = r_{A,n} + r_{A,n+1} $$

が成り立つ。これに先ほどの式を代入すると、

$$ \frac{r_{A,n}}{\sin \frac{A}{2}} - \frac{r_{A,n+1}}{\sin \frac{A}{2}} = r_{A,n} + r_{A,n+1} $$

分母を払い、式を整理すると、

$$ r_{A,n+1} \left( 1 + \sin \frac{A}{2} \right) = r_{A,n} \left( 1 - \sin \frac{A}{2} \right) $$

$$ r_{A,n+1} = \frac{1 - \sin \frac{A}{2}}{1 + \sin \frac{A}{2}} r_{A,n} $$

これより、数列 $\{ r_{A,n} \}$ は初項 $r_{A,1} = \frac{1 - \sin \frac{A}{2}}{1 + \sin \frac{A}{2}} r$、公比 $k_A = \frac{1 - \sin \frac{A}{2}}{1 + \sin \frac{A}{2}}$ の等比数列となる。

$0 < A < \pi$ より $0 < \sin \frac{A}{2} < 1$ であるから、$0 < k_A < 1$ を満たす。 円 $O_{A,n}$ の面積は $\pi r_{A,n}^2$ であり、公比 $k_A^2$ の等比数列となる。$0 < k_A^2 < 1$ より、この無限等比級数は収束する。 頂点 $A$ に向かう円の面積の和 $S_A$ は、

$$ S_A = \sum_{n=1}^{\infty} \pi r_{A,n}^2 = \frac{\pi r_{A,1}^2}{1 - k_A^2} = \pi r^2 \frac{k_A^2}{1 - k_A^2} $$

ここで、

$$ \frac{k_A^2}{1 - k_A^2} = \frac{\left( \frac{1 - \sin \frac{A}{2}}{1 + \sin \frac{A}{2}} \right)^2}{1 - \left( \frac{1 - \sin \frac{A}{2}}{1 + \sin \frac{A}{2}} \right)^2} $$

分子・分母に $\left( 1 + \sin \frac{A}{2} \right)^2$ を掛けて整理すると、

$$ \frac{\left( 1 - \sin \frac{A}{2} \right)^2}{\left( 1 + \sin \frac{A}{2} \right)^2 - \left( 1 - \sin \frac{A}{2} \right)^2} = \frac{\left( 1 - \sin \frac{A}{2} \right)^2}{4 \sin \frac{A}{2}} $$

したがって、

$$ S_A = \pi r^2 \frac{\left( 1 - \sin \frac{A}{2} \right)^2}{4 \sin \frac{A}{2}} $$

同様に、頂点 $B, C$ に向かう円の面積の和をそれぞれ $S_B, S_C$ とすると、

$$ S_B = \pi r^2 \frac{\left( 1 - \sin \frac{B}{2} \right)^2}{4 \sin \frac{B}{2}} $$

$$ S_C = \pi r^2 \frac{\left( 1 - \sin \frac{C}{2} \right)^2}{4 \sin \frac{C}{2}} $$

求めるすべての円の面積の総和 $S$ は、内接円の面積 $\pi r^2$ に $S_A, S_B, S_C$ を加えたものであるから、

$$ S = \pi r^2 + S_A + S_B + S_C $$

$$ S = \pi r^2 \left\{ 1 + \frac{\left( 1 - \sin \frac{A}{2} \right)^2}{4 \sin \frac{A}{2}} + \frac{\left( 1 - \sin \frac{B}{2} \right)^2}{4 \sin \frac{B}{2}} + \frac{\left( 1 - \sin \frac{C}{2} \right)^2}{4 \sin \frac{C}{2}} \right\} $$

次に、1辺 $a$ の正三角形の場合を考える。 $A = B = C = \frac{\pi}{3}$ であるから、

$$ \sin \frac{A}{2} = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $$

また、正三角形の高さは $\frac{\sqrt{3}}{2} a$ であり、内接円の半径 $r$ はその $\frac{1}{3}$ であるから、

$$ r = \frac{\sqrt{3}}{6} a = \frac{a}{2\sqrt{3}} $$

これらを総和 $S$ の式に代入する。各頂点に向かう円の面積の和の係数は、

$$ \frac{\left( 1 - \frac{1}{2} \right)^2}{4 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{4}}{2} = \frac{1}{8} $$

となるため、

$$ S = \pi r^2 \left( 1 + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} \right) = \frac{11}{8} \pi r^2 $$

これに $r^2 = \frac{a^2}{12}$ を代入して、

$$ S = \frac{11}{8} \pi \left( \frac{a^2}{12} \right) = \frac{11}{96} \pi a^2 $$

解説

図形に内接しながら連なる円の半径が等比数列となることは、極限や図形問題における典型的なテーマである。頂点からの距離と半径の関係から漸化式を立てることで、相似比を厳密に導出できる。式の形がやや複雑になるため、見通しよく計算することが求められる。後半は正三角形の性質を用いて内接円の半径を辺の長さから求めれば容易に求まる。

答え

面積の総和：

$$ \pi r^2 \left\{ 1 + \frac{\left( 1 - \sin \frac{A}{2} \right)^2}{4 \sin \frac{A}{2}} + \frac{\left( 1 - \sin \frac{B}{2} \right)^2}{4 \sin \frac{B}{2}} + \frac{\left( 1 - \sin \frac{C}{2} \right)^2}{4 \sin \frac{C}{2}} \right\} $$

1辺 $a$ の正三角形の場合の総和：

$$ \frac{11}{96} \pi a^2 $$