東京工業大学 1970年 理系 第4問 解説

方針・初手

円の半径を $R$ とおき、正多角形の面積を $R$ と $n$、および三角関数を用いて表す。得られた面積の式を与えられた不等式に代入し、角度をそろえるために三角関数の倍角の公式や3倍角の公式を用いて、$n$ に関する不等式に帰着させる。

解法1

円の半径を $R$ とおく。正$k$辺形の面積 $S_k$ は、円の中心を頂点とし、頂角が $\frac{2\pi}{k}$、等辺の長さが $R$ の二等辺三角形が $k$ 個集まった図形として計算できる。

$$S_k = k \cdot \frac{1}{2} R^2 \sin\frac{2\pi}{k} = \frac{1}{2} k R^2 \sin\frac{2\pi}{k}$$

これを用いて、$S_n$、$S_{2n}$、$S_{3n}$ をそれぞれ $n$ の式で表す。

$$S_n = \frac{1}{2} n R^2 \sin\frac{2\pi}{n}$$

$$S_{2n} = \frac{1}{2} (2n) R^2 \sin\frac{2\pi}{2n} = n R^2 \sin\frac{\pi}{n}$$

$$S_{3n} = \frac{1}{2} (3n) R^2 \sin\frac{2\pi}{3n} = \frac{3}{2} n R^2 \sin\frac{2\pi}{3n}$$

与えられた連立不等式 $\frac{\sqrt{3}}{2} S_{2n} > S_n > \frac{2}{3} S_{3n}$ を2つの不等式に分けて解く。

(i) $\frac{\sqrt{3}}{2} S_{2n} > S_n$ について

式を代入して整理する。

$$\frac{\sqrt{3}}{2} n R^2 \sin\frac{\pi}{n} > \frac{1}{2} n R^2 \sin\frac{2\pi}{n}$$

$n$ は正多角形の辺数であるから $n \geqq 3$ の整数であり、$R > 0$ であるから $n R^2 > 0$ である。両辺を $\frac{1}{2} n R^2$ で割る。

$$\sqrt{3} \sin\frac{\pi}{n} > \sin\frac{2\pi}{n}$$

右辺に倍角の公式 $\sin\frac{2\pi}{n} = 2 \sin\frac{\pi}{n} \cos\frac{\pi}{n}$ を適用する。

$$\sqrt{3} \sin\frac{\pi}{n} > 2 \sin\frac{\pi}{n} \cos\frac{\pi}{n}$$

$n \geqq 3$ より $0 < \frac{\pi}{n} \leqq \frac{\pi}{3}$ であるから、$\sin\frac{\pi}{n} > 0$ である。両辺を $\sin\frac{\pi}{n}$ で割ることができる。

$$\sqrt{3} > 2 \cos\frac{\pi}{n}$$

$$\cos\frac{\pi}{n} < \frac{\sqrt{3}}{2}$$

$0 < \frac{\pi}{n} \leqq \frac{\pi}{3}$ の範囲でこの不等式を解く。

$$\frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{n} \leqq \frac{\pi}{3}$$

各辺の逆数をとり、$\pi$ 倍すると、不等号の向きが反転して以下のようになる。

$$3 \leqq n < 6$$

$n$ は整数であるから、$n = 3, 4, 5$ を得る。

(ii) $S_n > \frac{2}{3} S_{3n}$ について

同様に式を代入して整理する。

$$\frac{1}{2} n R^2 \sin\frac{2\pi}{n} > \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} n R^2 \sin\frac{2\pi}{3n}$$

$$\frac{1}{2} n R^2 \sin\frac{2\pi}{n} > n R^2 \sin\frac{2\pi}{3n}$$

両辺を $n R^2 (> 0)$ で割り、2倍する。

$$\sin\frac{2\pi}{n} > 2 \sin\frac{2\pi}{3n}$$

ここで $\theta = \frac{2\pi}{3n}$ とおくと、$\frac{2\pi}{n} = 3\theta$ となる。不等式は次のように書き直せる。

$$\sin 3\theta > 2 \sin\theta$$

左辺に3倍角の公式 $\sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$ を適用する。

$$3\sin\theta - 4\sin^3\theta > 2\sin\theta$$

$$\sin\theta - 4\sin^3\theta > 0$$

$$\sin\theta (1 - 4\sin^2\theta) > 0$$

$n \geqq 3$ より $0 < \theta = \frac{2\pi}{3n} \leqq \frac{2\pi}{9}$ であるから、$\sin\theta > 0$ である。よって両辺を $\sin\theta$ で割ることができる。

$$1 - 4\sin^2\theta > 0$$

$$\sin^2\theta < \frac{1}{4}$$

$\sin\theta > 0$ であることを考慮すると、次を得る。

$$0 < \sin\theta < \frac{1}{2}$$

$0 < \theta \leqq \frac{2\pi}{9} < \frac{\pi}{2}$ の範囲でこの不等式を満たす $\theta$ の範囲を求める。

$$0 < \theta < \frac{\pi}{6}$$

$\theta = \frac{2\pi}{3n}$ に戻して代入する。

$$\frac{2\pi}{3n} < \frac{\pi}{6}$$

両辺に正の数 $\frac{3n}{\pi}$ を掛けて整理する。

$$4 < n$$

$n$ は整数であるから、$n \geqq 5$ を得る。

(i) と (ii) より、両方の条件を同時に満たす $n$ の値は $n = 5$ のみである。

解説

円に内接する正多角形の面積を一般角を用いて立式し、三角関数の不等式に持ち込む典型的な問題である。2つの不等式を別々に処理する際、現れる角度が互いに整数倍の関係にあることに着目して、倍角の公式や3倍角の公式を適用する方針が自然な選択となる。不等式の両辺を文字式で割る際の符号の確認や、角度の変域の確認を怠らずに厳密に論証を進めることが求められる。

答え

$n = 5$