トップ› 東京工業大学› 1968年› 理系第1問

東京工業大学 1968年理系第1問解説

方針・初手

与えられた不等式を左右の2つに分け、それぞれの条件から変数の取り得る範囲を絞り込む。自然数の大小関係 $a > b > c$ が与えられている場合、最大または最小の文字に置き換えて不等式を評価し、変数の値を限定していくのが定石である。今回は右側の不等式の両辺を $abc$ で割り、逆数の和の形に持ち込むと見通しが良い。

解法1

与えられた不等式は以下の2つに分けられる。

$$ ab+1 \leqq abc $$

$$ abc \leqq bc+ca+ab+1 $$

まず、1つ目の不等式について変形する。

$$ ab(c-1) \geqq 1 $$

$a, b, c$ は自然数であり、$a > b > c \geqq 1$ であるから $ab > 0$ である。したがって $c-1 > 0$ となり、自然数 $c$ について $c \geqq 2$ が従う。

次に、2つ目の不等式の両辺を $abc (>0)$ で割る。

$$ 1 \leqq \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{abc} $$

ここで、$c \geqq 3$ であると仮定する。 $a > b > c$ を満たす自然数であるから、$b \geqq c+1 \geqq 4$、$a \geqq b+1 \geqq 5$ となる。これを上の不等式の右辺に適用して評価すると、次のようになる。

$$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{abc} \leqq \frac{1}{5} + \frac{1}{4} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5 \cdot 4 \cdot 3} $$

$$ = \frac{12}{60} + \frac{15}{60} + \frac{20}{60} + \frac{1}{60} $$

$$ = \frac{48}{60} = \frac{4}{5} < 1 $$

これは $1 \leqq \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{abc}$ であることに矛盾する。したがって、$c \leqq 2$ でなければならない。

先の $c \geqq 2$ という条件と合わせて、$c=2$ が確定する。このとき、2つ目の不等式に $c=2$ を代入する。

$$ 2ab \leqq 2b+2a+ab+1 $$

$$ ab-2a-2b \leqq 1 $$

両辺に $4$ を加えて因数分解を行う。

$$ ab-2a-2b+4 \leqq 5 $$

$$ (a-2)(b-2) \leqq 5 $$

$a > b > c = 2$ より $a \geqq 4$、$b \geqq 3$ であるから、$a-2 \geqq 2$、$b-2 \geqq 1$ であり、かつ $a-2 > b-2$ である。この条件のもとで、積が $5$ 以下となる自然数 $A = a-2$、$B = b-2$ の組 $(A, B)$ は、$B=1$ の場合に限られる。 $B \geqq 2$ とすると、$A > B \geqq 2$ より $A \geqq 3$ となり、$AB \geqq 6$ となって条件を満たさないためである。

したがって、$b-2 = 1$ すなわち $b=3$ が確定する。このとき、$(a-2) \cdot 1 \leqq 5$ より $a-2 \leqq 5$ すなわち $a \leqq 7$ となる。 $a \geqq 4$ であるから、$a = 4, 5, 6, 7$ のいずれかである。

以上より、$(a, b, c) = (4, 3, 2), (5, 3, 2), (6, 3, 2), (7, 3, 2)$ が解の候補となる。これらは1つ目の不等式 $ab(c-1) \geqq 1$ を満たすため（$c=2$ のとき $ab \geqq 1$ であり、$a,b$ が自然数なら常に成立）、すべて条件を満たす。

解法2

2つ目の不等式の評価において、各項を最も小さい文字 $c$ に置き換えて絞り込む別解を示す。

途中まで解法1と同様に $c \geqq 2$ を得て、$1 \leqq \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{abc}$ を導出する。

$a > b > c$ より $\frac{1}{a} < \frac{1}{c}$ かつ $\frac{1}{b} < \frac{1}{c}$ であるから、不等式は次のように評価できる。

$$ 1 \leqq \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{abc} < \frac{1}{c} + \frac{1}{c} + \frac{1}{c} + \frac{1}{c^3} = \frac{3}{c} + \frac{1}{c^3} $$

$c \geqq 4$ とすると、右辺は $\frac{3}{4} + \frac{1}{64} = \frac{49}{64} < 1$ となり矛盾する。したがって、$c$ は $2$ または $3$ のいずれかである。

(i) $c=3$ のとき

2つ目の不等式に代入すると、

$$ 3ab \leqq 3b+3a+ab+1 $$

$$ 2ab-3a-3b \leqq 1 $$

両辺を2倍し、因数分解の形を作る。

$$ 4ab-6a-6b \leqq 2 $$

$$ (2a-3)(2b-3)-9 \leqq 2 $$

$$ (2a-3)(2b-3) \leqq 11 $$

$a > b > c = 3$ より、$b \geqq 4, a \geqq 5$ である。よって $2b-3 \geqq 5$、$2a-3 \geqq 7$ となり、$(2a-3)(2b-3) \geqq 35$ となるため、これを満たす自然数の組は存在しない。

(ii) $c=2$ のとき

解法1と同様の計算により $(a-2)(b-2) \leqq 5$ を得る。 $a > b > 2$ より導かれる組 $(a, b) = (4, 3), (5, 3), (6, 3), (7, 3)$ がすべての解となる。

解説

対称式・基本対称式に関連する不等式の整数問題であり、定石通りの絞り込みが要求される。解法2のように最も小さい文字（ここでは $c$）に置き換えて評価するのが一般的だが、本問では等号が成立しない真の不等号 $a > b > c$ が与えられているため、解法1のように $b \geqq c+1$、$a \geqq c+2$ として限界まで厳しく評価すると、場合分けの手間を大きく省くことができる。また、左側の不等式 $ab+1 \leqq abc$ の処理を後回しにせず、最初に $c \geqq 2$ を引き出しておくことが論証をスムーズに進めるコツである。