東京工業大学 1968年 理系 第3問 解説

方針・初手

複素数の絶対値に関する不等式 $|1+z+w| \leqq 1$ を扱うため、両辺を2乗して展開し、$\alpha, \beta$ の三角関数による不等式に帰着させます。得られた式に対して和積の公式などを用いて因数分解を行い、各因数の符号から条件を満たす領域を特定します。

解法1

$|1+z+w| \leqq 1$ は両辺が0以上なので、両辺を2乗した $|1+z+w|^2 \leqq 1$ と同値である。 複素数の絶対値の性質 $|u|^2 = u\overline{u}$ より、

$$ |1+z+w|^2 = (1+z+w)(1+\overline{z}+\overline{w}) $$

と展開する。 $z, w$ の共役複素数はそれぞれ $\overline{z} = \cos\alpha - i\sin\alpha$, $\overline{w} = \cos\beta - i\sin\beta$ であり、$z\overline{z} = |z|^2 = 1$, $w\overline{w} = |w|^2 = 1$ である。 展開式を整理すると、

$$ \begin{aligned} (1+z+w)(1+\overline{z}+\overline{w}) &= 1 + \overline{z} + \overline{w} + z + z\overline{z} + z\overline{w} + w + w\overline{z} + w\overline{w} \\ &= 3 + (z+\overline{z}) + (w+\overline{w}) + (z\overline{w} + \overline{z}w) \end{aligned} $$

ここで、

$$ \begin{aligned} z+\overline{z} &= 2\cos\alpha \\ w+\overline{w} &= 2\cos\beta \\ z\overline{w} + \overline{z}w &= (\cos\alpha+i\sin\alpha)(\cos\beta-i\sin\beta) + (\cos\alpha-i\sin\alpha)(\cos\beta+i\sin\beta) \\ &= 2(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta) \\ &= 2\cos(\alpha-\beta) \end{aligned} $$

となる。したがって、与えられた不等式は、

$$ 3 + 2\cos\alpha + 2\cos\beta + 2\cos(\alpha-\beta) \leqq 1 $$

$$ 1 + \cos\alpha + \cos\beta + \cos(\alpha-\beta) \leqq 0 $$

と変形できる。

左辺を因数分解する。半角の公式および和積の公式を用いる。

$$ 1 + \cos(\alpha-\beta) = 2\cos^2\frac{\alpha-\beta}{2} $$

$$ \cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $$

これらを代入すると、

$$ \begin{aligned} 1 + \cos\alpha + \cos\beta + \cos(\alpha-\beta) &= 2\cos^2\frac{\alpha-\beta}{2} + 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \\ &= 2\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \left( \cos\frac{\alpha-\beta}{2} + \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \right) \end{aligned} $$

さらに括弧の中に和積の公式 $\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$ を適用する。

$$ \cos\frac{\alpha-\beta}{2} + \cos\frac{\alpha+\beta}{2} = 2\cos\frac{\alpha}{2}\cos\left(-\frac{\beta}{2}\right) = 2\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2} $$

以上より、不等式は次のように因数分解される。

$$ 4\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \leqq 0 $$

$$ \cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \leqq 0 $$

$0 \leqq \alpha \leqq 2\pi$, $0 \leqq \beta \leqq 2\pi$ であるから、各偏角の範囲は以下の通り。

$$ 0 \leqq \frac{\alpha}{2} \leqq \pi, \quad 0 \leqq \frac{\beta}{2} \leqq \pi, \quad -\pi \leqq \frac{\alpha-\beta}{2} \leqq \pi $$

$\alpha, \beta$ の値によって $\cos\frac{\alpha}{2}, \cos\frac{\beta}{2}$ の符号で場合分けを行う。

(i) $0 \leqq \alpha < \pi$ のとき

$\cos\frac{\alpha}{2} > 0$ であるため、不等式を満たすには $\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \leqq 0$ となる必要がある。

(ア) $0 \leqq \beta < \pi$ のとき

$\cos\frac{\beta}{2} > 0$ となる。このとき $\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \leqq 0$ が必要である。 $- \pi < \alpha - \beta < \pi$ より $-\frac{\pi}{2} < \frac{\alpha-\beta}{2} < \frac{\pi}{2}$ であるため、常に $\cos\frac{\alpha-\beta}{2} > 0$ となり不適。

(イ) $\pi < \beta \leqq 2\pi$ のとき

$\cos\frac{\beta}{2} < 0$ となる。このとき $\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \geqq 0$ が必要である。 $\alpha < \pi < \beta$ より $-2\pi < \alpha - \beta < 0$ であり、$-\pi < \frac{\alpha-\beta}{2} < 0$ となる。 $\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \geqq 0$ となる範囲は $-\frac{\pi}{2} \leqq \frac{\alpha-\beta}{2} < 0$ であるから、

$$ -\pi \leqq \alpha - \beta < 0 $$

すなわち $\alpha - \beta \geqq -\pi$ が条件となる。

(ii) $\pi < \alpha \leqq 2\pi$ のとき

$\cos\frac{\alpha}{2} < 0$ であるため、不等式を満たすには $\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \geqq 0$ となる必要がある。

(ア) $0 \leqq \beta < \pi$ のとき

$\cos\frac{\beta}{2} > 0$ となる。このとき $\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \geqq 0$ が必要である。 $\alpha > \pi > \beta$ より $0 < \alpha - \beta < 2\pi$ であり、$0 < \frac{\alpha-\beta}{2} < \pi$ となる。 $\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \geqq 0$ となる範囲は $0 < \frac{\alpha-\beta}{2} \leqq \frac{\pi}{2}$ であるから、

$$ 0 < \alpha - \beta \leqq \pi $$

すなわち $\alpha - \beta \leqq \pi$ が条件となる。

(イ) $\pi < \beta \leqq 2\pi$ のとき

$\cos\frac{\beta}{2} < 0$ となる。このとき $\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \leqq 0$ が必要である。 $- \pi < \alpha - \beta < \pi$ より $-\frac{\pi}{2} < \frac{\alpha-\beta}{2} < \frac{\pi}{2}$ であるため、常に $\cos\frac{\alpha-\beta}{2} > 0$ となり不適。

(iii) $\alpha = \pi$ または $\beta = \pi$ のとき

$\cos\frac{\alpha}{2} = 0$ または $\cos\frac{\beta}{2} = 0$ となるため、不等式は常に等号で成立し、条件を満たす。

以上 (i) 〜 (iii) より、求める $(\alpha, \beta)$ の条件は、

$$ \begin{cases} 0 \leqq \alpha \leqq \pi \\ \pi \leqq \beta \leqq 2\pi \\ \alpha - \beta \geqq -\pi \end{cases} \quad \text{または} \quad \begin{cases} \pi \leqq \alpha \leqq 2\pi \\ 0 \leqq \beta \leqq \pi \\ \alpha - \beta \leqq \pi \end{cases} $$

となる。これらの不等式には等号が含まれるため、境界もすべて含まれる。

解説

複素数の絶対値の処理として、$|z|^2 = z\overline{z}$ を用いて展開する手法は定石です。実部と虚部に分けて展開しても同様の三角関数の式が得られます。 導かれた $\alpha, \beta$ の方程式・不等式はそのままでは扱いづらいため、和積の公式などを活用して積の形（因数分解）に持ち込むことが重要です。本問では、$\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \leqq 0$ と綺麗に因数分解できるかが完答への鍵となります。 図示する領域は、$0 \leqq \alpha \leqq 2\pi, 0 \leqq \beta \leqq 2\pi$ の正方形内において、$\alpha=\pi$ と $\beta=\pi$ の直線で4分割された各象限ごとに符号を考えれば整理しやすくなります。

答え

条件を満たす $(\alpha, \beta)$ の範囲は、$\alpha\beta$ 直交座標平面上において以下の2つの領域の和集合である。

• 頂点 $(0, \pi), (\pi, \pi), (\pi, 2\pi)$ を結んでできる三角形の内部および境界
• 頂点 $(\pi, 0), (2\pi, \pi), (\pi, \pi)$ を結んでできる三角形の内部および境界

（図示すると、$0 \leqq \alpha \leqq 2\pi, 0 \leqq \beta \leqq 2\pi$ の正方形領域内で、上記の2つの直角二等辺三角形が点 $(\pi, \pi)$ で頂点を接するように配置された図形となる。境界線はすべて含む。）