東京工業大学 1988年 理系 第4問 解説

方針・初手

時刻 $t$ を用いて、動点 $P, Q$ の座標をパラメータ表示する。$P, Q$ はともに等速円運動をしているため、三角関数を用いて座標を表すことができる。その後、2点間の距離の2乗 $PQ^2$ を計算し、三角関数の加法定理や倍角の公式を用いて $\cos t$ のみの関数（2次関数）に帰着させて最大値と最小値を調べる。

解法1

時刻を $t$ $(t \ge 0)$ とする。 動点 $P$ は原点を中心とする半径1の円 $C$ 上を、点 $(1,0)$ から反時計回りに角速度2で動くため、時刻 $t$ における座標は以下のように表せる。

$$ P(\cos 2t, \sin 2t) $$

動点 $Q$ は点 $(4,0)$ を中心とする半径2の円 $D$ 上を、点 $(6,0)$ から反時計回りに角速度1で動く。点 $(6,0)$ は円 $D$ の中心から見て $x$ 軸の正の方向にあるため、時刻 $t$ における座標は以下のように表せる。

$$ Q(4 + 2\cos t, 2\sin t) $$

$P$ と $Q$ の距離を $L$ とおき、$L^2$ を計算する。

$$ \begin{aligned} L^2 &= \{ (4 + 2\cos t) - \cos 2t \}^2 + (2\sin t - \sin 2t)^2 \\ &= (4 + 2\cos t)^2 - 2(4 + 2\cos t)\cos 2t + \cos^2 2t + 4\sin^2 t - 4\sin t \sin 2t + \sin^2 2t \\ &= 16 + 16\cos t + 4\cos^2 t - 8\cos 2t - 4\cos t \cos 2t + (\cos^2 2t + \sin^2 2t) + 4\sin^2 t - 4\sin t \sin 2t \end{aligned} $$

$\cos^2 2t + \sin^2 2t = 1$ および $4\cos^2 t + 4\sin^2 t = 4$ より、式を整理する。

$$ \begin{aligned} L^2 &= 16 + 16\cos t - 8\cos 2t - 4(\cos 2t \cos t + \sin 2t \sin t) + 1 + 4 \\ &= 21 + 16\cos t - 8\cos 2t - 4\cos(2t - t) \\ &= 21 + 16\cos t - 8\cos 2t - 4\cos t \\ &= 21 + 12\cos t - 8\cos 2t \end{aligned} $$

倍角の公式 $\cos 2t = 2\cos^2 t - 1$ を代入する。

$$ \begin{aligned} L^2 &= 21 + 12\cos t - 8(2\cos^2 t - 1) \\ &= -16\cos^2 t + 12\cos t + 29 \end{aligned} $$

ここで、$x = \cos t$ とおく。$-1 \le x \le 1$ であり、$L^2$ は $x$ の関数 $f(x)$ として表せる。

$$ \begin{aligned} f(x) &= -16x^2 + 12x + 29 \\ &= -16 \left( x^2 - \frac{3}{4}x \right) + 29 \\ &= -16 \left( x - \frac{3}{8} \right)^2 + 16 \cdot \frac{9}{64} + 29 \\ &= -16 \left( x - \frac{3}{8} \right)^2 + \frac{125}{4} \end{aligned} $$

放物線 $y = f(x)$ の軸は $x = \frac{3}{8}$ であり、これは区間 $-1 \le x \le 1$ に含まれる。 したがって、$f(x)$ は $x = \frac{3}{8}$ のときに最大となる。 また、軸から最も遠い端点は $x = -1$ であるため、区間における最小値は $x = -1$ のときにとる。

$L \ge 0$ であるから、$L^2$ が最大のとき $L$ も最大となり、$L^2$ が最小のとき $L$ も最小となる。

最大値について

$x = \cos t = \frac{3}{8}$ のとき、距離の2乗の最大値は $\frac{125}{4}$ となる。 したがって、距離の最大値は $\sqrt{\frac{125}{4}} = \frac{5\sqrt{5}}{2}$ である。

このときの $P, Q$ の座標を求める。 $\cos t = \frac{3}{8}$ より、$\sin t = \pm \sqrt{1 - \left(\frac{3}{8}\right)^2} = \pm \frac{\sqrt{55}}{8}$ である。 倍角の公式より、

$$ \cos 2t = 2\cos^2 t - 1 = 2 \left(\frac{3}{8}\right)^2 - 1 = -\frac{23}{32} $$

$$ \sin 2t = 2\sin t \cos t = 2 \left( \pm \frac{\sqrt{55}}{8} \right) \left( \frac{3}{8} \right) = \pm \frac{3\sqrt{55}}{32} \quad \text{（複号同順）} $$

よって、$P(\cos 2t, \sin 2t)$ および $Q(4 + 2\cos t, 2\sin t)$ の座標は、それぞれ次のようになる。

$$ P \left( -\frac{23}{32}, \pm \frac{3\sqrt{55}}{32} \right), \quad Q \left( \frac{19}{4}, \pm \frac{\sqrt{55}}{4} \right) \quad \text{（複号同順）} $$

最小値について

$x = \cos t = -1$ のとき、距離の2乗の最小値は $f(-1) = -16(-1)^2 + 12(-1) + 29 = 1$ となる。 したがって、距離の最小値は $\sqrt{1} = 1$ である。

このときの $P, Q$ の座標を求める。 $\cos t = -1$ より、$\sin t = 0$ である。 倍角の公式より、

$$ \cos 2t = 2(-1)^2 - 1 = 1 $$

$$ \sin 2t = 2(0)(-1) = 0 $$

よって、$P(\cos 2t, \sin 2t)$ および $Q(4 + 2\cos t, 2\sin t)$ の座標は、それぞれ次のようになる。

$$ P(1, 0), \quad Q(2, 0) $$

解説

2つの動点の距離の最大・最小を問う標準的な問題である。円運動を三角関数でパラメータ表示することが第一歩となる。 $PQ^2$ を展開した際に出てくる $\cos 2t \cos t + \sin 2t \sin t$ の部分は、加法定理を逆向きに用いることで $\cos(2t - t) = \cos t$ と簡略化できる。これにより式全体を $\cos t$ の関数として整理でき、2次関数の最大・最小問題に帰着させることができる。最大値を与える座標を求める際の「複号同順」の対応関係には注意が必要である。

答え

距離の最大値: $\frac{5\sqrt{5}}{2}$ 最大値を与える座標: $P \left( -\frac{23}{32}, \frac{3\sqrt{55}}{32} \right), Q \left( \frac{19}{4}, \frac{\sqrt{55}}{4} \right)$ または $P \left( -\frac{23}{32}, -\frac{3\sqrt{55}}{32} \right), Q \left( \frac{19}{4}, -\frac{\sqrt{55}}{4} \right)$

距離の最小値: $1$ 最小値を与える座標: $P(1, 0), Q(2, 0)$