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東京工業大学 1981年理系第4問解説

方針・初手

$F(t)$ の定義式にある積分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}t} |\cos 2x| dx$ を計算することが基本である。絶対値記号が含まれるため、被積分関数 $\cos 2x$ の符号によって場合分けが必要になる。積分区間の上限 $\frac{\pi}{2}t$ と、$\cos 2x$ の符号が変わる境界値との大小関係に注目して $F(t)$ を陽に求める。

解法1

(1)

$t \to 0$ の極限を考えるため、$t$ が十分に小さい場合を考える。具体的には、$0 < t \leqq \frac{1}{2}$ とすると、積分区間 $0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}t$ において $0 \leqq 2x \leqq \pi t \leqq \frac{\pi}{2}$ となる。

このとき、$\cos 2x \geqq 0$ であるため、絶対値記号をそのまま外すことができる。

$$ \begin{aligned} F(t) &= \frac{1}{t} \int_0^{\frac{\pi}{2}t} \cos 2x dx \\ &= \frac{1}{t} \left[ \frac{1}{2} \sin 2x \right]_0^{\frac{\pi}{2}t} \\ &= \frac{\sin \pi t}{2t} \end{aligned} $$

したがって、求める極限は

$$ \begin{aligned} \lim_{t \to 0} F(t) &= \lim_{t \to 0} \frac{\sin \pi t}{2t} \\ &= \lim_{t \to 0} \left( \frac{\pi}{2} \cdot \frac{\sin \pi t}{\pi t} \right) \\ &= \frac{\pi}{2} \cdot 1 = \frac{\pi}{2} \end{aligned} $$

となる。

(2)

$F(t)$ を求めるため、積分区間 $0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}t$ における $\cos 2x$ の符号を調べる。

$0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4}$ のとき $\cos 2x \geqq 0$ であり、$\frac{\pi}{4} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ のとき $\cos 2x \leqq 0$ である。

$0 < t \leqq 1$ より積分区間の上限 $\frac{\pi}{2}t$ は $0 < \frac{\pi}{2}t \leqq \frac{\pi}{2}$ の範囲を動くため、$\frac{\pi}{2}t$ と $\frac{\pi}{4}$ の大小、すなわち $t$ と $\frac{1}{2}$ の大小で場合分けを行う。

(i)

$0 < t \leqq \frac{1}{2}$ のとき

（1）の計算から、

$$ F(t) = \frac{\sin \pi t}{2t} $$

となる。$F(t) \geqq 1$ は $\frac{\sin \pi t}{2t} \geqq 1$ であり、$t > 0$ より

$$ \sin \pi t \geqq 2t $$

と変形できる。ここで、$g(t) = \sin \pi t - 2t$ とおくと、

$$ g'(t) = \pi \cos \pi t - 2 $$

$$ g''(t) = -\pi^2 \sin \pi t $$

$0 < t \leqq \frac{1}{2}$ において $g''(t) < 0$ であるため、$g(t)$ はこの区間で上に凸な関数である。

また、$g(0) = 0$、$g\left(\frac{1}{2}\right) = \sin \frac{\pi}{2} - 1 = 0$ であることから、$0 < t \leqq \frac{1}{2}$ において常に $g(t) \geqq 0$ が成り立つ。

したがって、この範囲のすべての $t$ が条件を満たす。

(ii)

$\frac{1}{2} < t \leqq 1$ のとき

積分区間は $x = \frac{\pi}{4}$ を境に分かれる。

$$ \begin{aligned} F(t) &= \frac{1}{t} \left( \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos 2x dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}t} (-\cos 2x) dx \right) \\ &= \frac{1}{t} \left( \left[ \frac{1}{2} \sin 2x \right]_0^{\frac{\pi}{4}} - \left[ \frac{1}{2} \sin 2x \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}t} \right) \\ &= \frac{1}{t} \left( \frac{1}{2}(1 - 0) - \frac{1}{2}(\sin \pi t - 1) \right) \\ &= \frac{1 - \frac{1}{2} \sin \pi t}{t} \end{aligned} $$

$F(t) \geqq 1$ は $\frac{1 - \frac{1}{2} \sin \pi t}{t} \geqq 1$ であり、$t > 0$ より

$$ 1 - \frac{1}{2} \sin \pi t \geqq t $$

と変形できる。ここで、$h(t) = 1 - t - \frac{1}{2} \sin \pi t$ とおくと、

$$ h'(t) = -1 - \frac{\pi}{2} \cos \pi t $$

$$ h''(t) = \frac{\pi^2}{2} \sin \pi t $$

$\frac{1}{2} < t \leqq 1$ において $\sin \pi t > 0$ なので、$h''(t) > 0$ となり、$h(t)$ は下に凸な関数である。

境界での値を調べると、

$h\left(\frac{1}{2}\right) = 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 = 0$

$h(1) = 1 - 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 = 0$

関数 $h(t)$ は区間 $\left[\frac{1}{2}, 1\right]$ の両端で $0$ となり、その間では下に凸であるため、$\frac{1}{2} < t < 1$ において $h(t) < 0$ となる。

よって、$h(t) \geqq 0$ を満たすのは $t=1$ のみである。

以上（i）, （ii）より、求める $t$ の範囲は

$0 < t \leqq \frac{1}{2}$ および $t=1$

となる。

解法2

（1）について、微分の定義を利用した別解を示す。

関数 $G(u)$ を

$$ G(u) = \int_0^u |\cos 2x| dx $$

と定義する。微分積分学の基本定理より、$G(u)$ は微分可能であり、$G'(u) = |\cos 2u|$ となる。

与式は

$$ F(t) = \frac{1}{t} G\left(\frac{\pi}{2}t\right) = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{G\left(\frac{\pi}{2}t\right) - G(0)}{\frac{\pi}{2}t} $$

と変形できる（$G(0) = 0$ より）。

$t \to 0$ のとき、$\frac{\pi}{2}t \to 0$ であるため、微分の定義より

$$ \begin{aligned} \lim_{t \to 0} F(t) &= \frac{\pi}{2} \lim_{h \to 0} \frac{G(h) - G(0)}{h} \\ &= \frac{\pi}{2} G'(0) \\ &= \frac{\pi}{2} |\cos 0| \\ &= \frac{\pi}{2} \end{aligned} $$

となる。