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名古屋大学 2020年理系第3問解説

方針・初手

定積分の不等式を示す問題である。被積分関数に三角関数が含まれている場合、その周期性や対称性（正負が切り替わる区間）に着目し、積分区間を分割して置換積分を行うことで、積分区間を1つにまとめる手法が有効である。本問では、関数 $f(x)$ や $g(x)$ の凸性（第2次導関数の符号）や単調性（導関数の符号）を利用して、まとめられた被積分関数の符号を評価していく。

解法1

(1)

$F(x)$ の定義式を順序を入れ替えて次のように変形する。

$$F(x) = \{f(2\pi - x) - f(\pi + x)\} - \{f(\pi - x) - f(x)\}$$

ここで、微積分学の基本定理より、各カッコ内の式は定積分を用いて次のように表せる。

$$f(2\pi - x) - f(\pi + x) = \int_{\pi+x}^{2\pi-x} f'(t) dt$$

$$f(\pi - x) - f(x) = \int_x^{\pi-x} f'(t) dt$$

第1の積分において、$t = s + \pi$ と置換すると $dt = ds$ となる。積分区間は $x \to \pi-x$ となるので、

$$\int_{\pi+x}^{2\pi-x} f'(t) dt = \int_x^{\pi-x} f'(s+\pi) ds = \int_x^{\pi-x} f'(t+\pi) dt$$

これを用いて $F(x)$ をまとめると、以下のようになる。

$$F(x) = \int_x^{\pi-x} f'(t+\pi) dt - \int_x^{\pi-x} f'(t) dt = \int_x^{\pi-x} \{f'(t+\pi) - f'(t)\} dt$$

区間 $0 \leqq x \leqq 2\pi$ において $f''(x) > 0$ であるため、導関数 $f'(x)$ は同区間で単調に増加する。 $t < t+\pi$ であるから、積分区間内の任意の $t$ について $f'(t+\pi) > f'(t)$ が成り立ち、被積分関数は常に正となる。

区間 $0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ においては $x \leqq \pi-x$ であり、積分区間の下端は上端以下である。被積分関数が正であり、下端 $\leqq$ 上端であるため、その定積分は $0$ 以上となる。（$x = \frac{\pi}{2}$ のときは積分区間の幅が $0$ となり、$F\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$ となる。）

よって、区間 $0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ で $F(x) \geqq 0$ であることが示された。

(2)

積分区間を $\cos x$ の符号変化と対称性に合わせて $4$ つに分割する。

$$\int_0^{2\pi} f(x) \cos x dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \cos x dx + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} f(x) \cos x dx + \int_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}} f(x) \cos x dx + \int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi} f(x) \cos x dx$$

第2項以降の積分について、積分区間が $0 \to \frac{\pi}{2}$ になるようにそれぞれ置換積分を行う。

第2項：$x = \pi - t$ とすると $dx = -dt$、積分区間は $\frac{\pi}{2} \to 0$ となる。

$$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} f(x) \cos x dx = \int_{\frac{\pi}{2}}^0 f(\pi-t) \cos(\pi-t) (-dt) = -\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\pi-x) \cos x dx$$

第3項：$x = \pi + t$ とすると $dx = dt$、積分区間は $0 \to \frac{\pi}{2}$ となる。

$$\int_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}} f(x) \cos x dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\pi+t) \cos(\pi+t) dt = -\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\pi+x) \cos x dx$$

第4項：$x = 2\pi - t$ とすると $dx = -dt$、積分区間は $\frac{\pi}{2} \to 0$ となる。

$$\int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi} f(x) \cos x dx = \int_{\frac{\pi}{2}}^0 f(2\pi-t) \cos(2\pi-t) (-dt) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(2\pi-x) \cos x dx$$

これらを足し合わせてまとめる。

$$\int_0^{2\pi} f(x) \cos x dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \{f(x) - f(\pi-x) - f(\pi+x) + f(2\pi-x)\} \cos x dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} F(x) \cos x dx$$

(1) より、区間 $0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ において $F(x) \geqq 0$ である。また、同区間において $\cos x \geqq 0$ である。したがって、被積分関数は $F(x) \cos x \geqq 0$ となるため、その定積分も $0$ 以上となる。

よって、次が示された。

$$\int_0^{2\pi} f(x) \cos x dx \geqq 0$$

(3)

積分区間を $\sin x$ の符号が変わる $x = \pi$ で $2$ つに分割する。

$$\int_0^{2\pi} g(x) \sin x dx = \int_0^{\pi} g(x) \sin x dx + \int_{\pi}^{2\pi} g(x) \sin x dx$$

第2項について $x = t + \pi$ と置換すると、$dx = dt$、積分区間は $0 \to \pi$ となる。

$$\int_{\pi}^{2\pi} g(x) \sin x dx = \int_0^{\pi} g(t+\pi) \sin(t+\pi) dt = -\int_0^{\pi} g(x+\pi) \sin x dx$$

これを元の式に代入してまとめる。

$$\int_0^{2\pi} g(x) \sin x dx = \int_0^{\pi} \{g(x) - g(x+\pi)\} \sin x dx$$

区間 $0 \leqq x \leqq 2\pi$ において $g'(x) < 0$ であるから、$g(x)$ は単調減少する関数である。 $0 \leqq x \leqq \pi$ において $x \leqq x + \pi$ であるから、$g(x) \geqq g(x+\pi)$ すなわち $g(x) - g(x+\pi) \geqq 0$ が成り立つ。また、同区間において $\sin x \geqq 0$ である。

したがって、被積分関数は常に $0$ 以上となるため、次が示された。

$$\int_0^{2\pi} g(x) \sin x dx \geqq 0$$

解法2

(1) の別解：平均値の定理の利用

$0 \leqq x < \frac{\pi}{2}$ とする。（$x = \frac{\pi}{2}$ のときは $F\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$ より与式は成立する） $F(x)$ を次のようにみる。

$$F(x) = \{f(2\pi - x) - f(\pi + x)\} - \{f(\pi - x) - f(x)\}$$

区間 $[x, \pi-x]$ において $f(x)$ に平均値の定理を適用すると、

$$\frac{f(\pi-x) - f(x)}{(\pi-x) - x} = f'(c_1) \quad (x < c_1 < \pi-x)$$

すなわち、$f(\pi-x) - f(x) = (\pi-2x)f'(c_1)$ を満たす実数 $c_1$ が存在する。

同様に、区間 $[\pi+x, 2\pi-x]$ において平均値の定理を適用すると、

$$\frac{f(2\pi-x) - f(\pi+x)}{(2\pi-x) - (\pi+x)} = f'(c_2) \quad (\pi+x < c_2 < 2\pi-x)$$

すなわち、$f(2\pi-x) - f(\pi+x) = (\pi-2x)f'(c_2)$ を満たす実数 $c_2$ が存在する。

これらを $F(x)$ に代入すると、

$$F(x) = (\pi-2x)\{f'(c_2) - f'(c_1)\}$$

ここで、$c_1 < \pi-x < \pi+x < c_2$ より $c_1 < c_2$ である。 $f''(x) > 0$ より $f'(x)$ は単調増加であるから、$f'(c_1) < f'(c_2)$ すなわち $f'(c_2) - f'(c_1) > 0$ である。また、$x < \frac{\pi}{2}$ より $\pi-2x > 0$ である。

以上より、$F(x) > 0$ となり、区間 $0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ で $F(x) \geqq 0$ であることが示された。

解法3

(3) の別解：関数の符号と単調性を用いた不等式評価

$g'(x) < 0$ より、$g(x)$ は区間 $0 \leqq x \leqq 2\pi$ で単調減少する。

$0 \leqq x \leqq \pi$ のとき、$g(x) \geqq g(\pi)$ かつ $\sin x \geqq 0$ であるから、両辺に $\sin x$ を掛けて

$$g(x) \sin x \geqq g(\pi) \sin x$$

が成り立つ。

一方、$\pi < x \leqq 2\pi$ のとき、$g(x) < g(\pi)$ かつ $\sin x < 0$ であるから、両辺に負の数 $\sin x$ を掛けると不等号の向きが反転し、

$$g(x) \sin x > g(\pi) \sin x$$

が成り立つ。

したがって、区間 $0 \leqq x \leqq 2\pi$ 全体にわたって常に

$$g(x) \sin x \geqq g(\pi) \sin x$$

が成り立つ。両辺を $0$ から $2\pi$ まで積分すると、

$$\int_0^{2\pi} g(x) \sin x dx \geqq \int_0^{2\pi} g(\pi) \sin x dx$$

ここで右辺の定積分を計算すると、

$$\int_0^{2\pi} g(\pi) \sin x dx = g(\pi) \big[ -\cos x \big]_0^{2\pi} = g(\pi) (-1 - (-1)) = 0$$

となるため、次が示された。

$$\int_0^{2\pi} g(x) \sin x dx \geqq 0$$

解説

本問は、定積分の不等式評価において「対称性を利用して積分区間を折り畳む」という極めて重要な手法をテーマにしている。被積分関数に三角関数（$\cos x$ や $\sin x$）が含まれている場合、その正負が切り替わる区間ごとに積分を分割し、置換積分を行って1つの区間にまとめる手法が定石である。 (1) はその準備であり、定積分を用いて表現すると直感的に見通しが良くなるが、解法2で示したように平均値の定理を用いて関数の凸性を処理するのも典型的なアプローチである。 (3) の解法3は、関数が単調であるという条件と符号付き関数の関係をうまく利用したエレガントな解法であり、「チェビシェフの和の不等式」の連続バージョンともいえる高度な発想である。実戦的には解法1の区間分割のほうが汎用性が高く、思いつきやすいだろう。