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東京工業大学 2006年理系第1問解説

方針・初手

(1) は $|\sin x|$ の周期性とグラフの対称性に着目する。積分区間 $\left[0, \frac{n\pi}{2}\right]$ を幅 $\frac{\pi}{2}$ の区間に分割して考える。 (2) は不等式の証明の定石通り、各辺の差をとって関数を定義し、微分を用いて増減やグラフの凹凸を調べる。 (3) は (1) と (2) の誘導問題である。(1) と同じように積分区間を「$\frac{\pi}{2}$ の整数倍」の部分と「余りの小数部分」に分割し、置換積分を利用して (2) の形を作り出すのが目標となる。

解法1

(1)

積分区間 $\left[0, \frac{n\pi}{2}\right]$ を $\frac{\pi}{2}$ ごとに分割する。

$$ I(n) = \sum_{k=1}^n \int_{\frac{(k-1)\pi}{2}}^{\frac{k\pi}{2}} |\sin x| dx $$

各区間の積分において、$t = x - \frac{(k-1)\pi}{2}$ とおくと、$dx = dt$ であり、積分区間は $x: \frac{(k-1)\pi}{2} \to \frac{k\pi}{2}$ から $t: 0 \to \frac{\pi}{2}$ となる。

$$ \begin{aligned} \int_{\frac{(k-1)\pi}{2}}^{\frac{k\pi}{2}} |\sin x| dx &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left|\sin \left(t + \frac{(k-1)\pi}{2}\right)\right| dt \end{aligned} $$

$k$ が奇数のとき、$k-1$ は偶数なので $\sin \left(t + \frac{(k-1)\pi}{2}\right) = \pm \sin t$ となる。 $k$ が偶数のとき、$k-1$ は奇数なので $\sin \left(t + \frac{(k-1)\pi}{2}\right) = \pm \cos t$ となる。

いずれの場合も、絶対値をつけた被積分関数は $0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$ において $\sin t \geqq 0, \cos t \geqq 0$ であるため、$\sin t$ または $\cos t$ に等しい。ここで、

$$ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin t dt = \left[ -\cos t \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = 1 $$

$$ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos t dt = \left[ \sin t \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = 1 $$

であるから、すべての自然数 $k$ について $\int_{\frac{(k-1)\pi}{2}}^{\frac{k\pi}{2}} |\sin x| dx = 1$ が成り立つ。したがって、

$$ I(n) = \sum_{k=1}^n 1 = n $$

(2)

示すべき不等式の中辺は、積分を計算すると次のようになる。

$$ \int_0^{\frac{s\pi}{2}} \cos x dx - s = \left[ \sin x \right]_0^{\frac{s\pi}{2}} - s = \sin\left(\frac{\pi}{2}s\right) - s $$

まず、左側の不等式 $0 \leqq \sin\left(\frac{\pi}{2}s\right) - s$ を示す。 $f(s) = \sin\left(\frac{\pi}{2}s\right) - s$ とおくと、

$$ f'(s) = \frac{\pi}{2}\cos\left(\frac{\pi}{2}s\right) - 1 $$

$$ f''(s) = -\left(\frac{\pi}{2}\right)^2 \sin\left(\frac{\pi}{2}s\right) $$

$0 \leqq s \leqq 1$ において $f''(s) \leqq 0$ であるから、$y = f(s)$ のグラフは上に凸である。また、$f(0) = 0$、$f(1) = 1 - 1 = 0$ である。上に凸な曲線は、両端点 $(0, 0), (1, 0)$ を結ぶ線分 $y = 0$ の上側（境界を含む）にあるため、$0 \leqq s \leqq 1$ において $f(s) \geqq 0$ が成り立つ。よって、$0 \leqq \int_0^{\frac{s\pi}{2}} \cos x dx - s$ が示された。

次に、右側の不等式 $\sin\left(\frac{\pi}{2}s\right) - s \leqq \left(\frac{\pi}{2} - 1\right)s$ を示す。 $g(s) = \frac{\pi}{2}s - \sin\left(\frac{\pi}{2}s\right)$ とおき、$g(s) \geqq 0$ を示せばよい。

$$ g'(s) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}\cos\left(\frac{\pi}{2}s\right) = \frac{\pi}{2}\left(1 - \cos\left(\frac{\pi}{2}s\right)\right) $$

$0 \leqq s \leqq 1$ において $\cos\left(\frac{\pi}{2}s\right) \leqq 1$ であるから、$g'(s) \geqq 0$ となり、$g(s)$ は単調に増加する。 $g(0) = 0$ であるから、$0 \leqq s \leqq 1$ において $g(s) \geqq 0$ が成り立つ。よって $\sin\left(\frac{\pi}{2}s\right) - s \leqq \frac{\pi}{2}s - s = \left(\frac{\pi}{2} - 1\right)s$ が示された。

以上より、題意の不等式は成り立つ。

(3)

与えられた積分を $J = \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\sin at| dt$ とおく。 $x = at$ とおくと、$dx = a dt$。積分区間は $t: 0 \to \frac{\pi}{2}$ から $x: 0 \to \frac{a\pi}{2}$ となる。

$$ J = \frac{1}{a} \int_0^{\frac{a\pi}{2}} |\sin x| dx $$

$n = [a]$ とおく。問題の仮定より $n$ は奇数である。また、ガウス記号の定義より $n \leqq a < n+1$ が成り立つ。積分区間を $0$ から $\frac{n\pi}{2}$ までと、$\frac{n\pi}{2}$ から $\frac{a\pi}{2}$ までに分割する。

$$ \int_0^{\frac{a\pi}{2}} |\sin x| dx = \int_0^{\frac{n\pi}{2}} |\sin x| dx + \int_{\frac{n\pi}{2}}^{\frac{a\pi}{2}} |\sin x| dx $$

右辺の第1項は (1) より $I(n) = n$ である。第2項について、$y = x - \frac{n\pi}{2}$ とおくと、$dy = dx$。積分区間は $x: \frac{n\pi}{2} \to \frac{a\pi}{2}$ から $y: 0 \to \frac{(a-n)\pi}{2}$ となる。加法定理より、

$$ \sin x = \sin\left(y + \frac{n\pi}{2}\right) = \sin y \cos\frac{n\pi}{2} + \cos y \sin\frac{n\pi}{2} $$

$n$ は奇数であるから $\cos\frac{n\pi}{2} = 0$、$\sin\frac{n\pi}{2} = \pm 1$ となる。よって $|\sin x| = |\pm \cos y| = |\cos y|$ となる。さらに、$n \leqq a < n+1$ より $0 \leqq a-n < 1$ であるから、積分変数 $y$ の範囲は $0 \leqq y \leqq \frac{(a-n)\pi}{2} < \frac{\pi}{2}$ となる。この区間では $\cos y > 0$ であるため、絶対値はそのまま外れて $|\cos y| = \cos y$ となる。したがって、

$$ \int_{\frac{n\pi}{2}}^{\frac{a\pi}{2}} |\sin x| dx = \int_0^{\frac{(a-n)\pi}{2}} \cos y dy $$

これらを $J$ の式に代入すると、

$$ J = \frac{1}{a} \left( n + \int_0^{\frac{(a-n)\pi}{2}} \cos y dy \right) $$

示したい不等式の中辺 $J - 1$ を計算する。

$$ \begin{aligned} J - 1 &= \frac{1}{a} \left( n + \int_0^{\frac{(a-n)\pi}{2}} \cos y dy \right) - 1 \\ &= \frac{1}{a} \left( \int_0^{\frac{(a-n)\pi}{2}} \cos y dy - (a - n) \right) \end{aligned} $$

ここで、$s = a - n$ とおくと、$0 \leqq s < 1$ であり、(2) の条件 $0 \leqq s \leqq 1$ を満たす。

$$ J - 1 = \frac{1}{a} \left( \int_0^{\frac{s\pi}{2}} \cos y dy - s \right) $$

(2) で証明した不等式において変数 $x$ を $y$ とすれば、

$$ 0 \leqq \int_0^{\frac{s\pi}{2}} \cos y dy - s \leqq \left(\frac{\pi}{2} - 1\right)s $$

辺々に正の数 $\frac{1}{a}$ を掛けると、

$$ 0 \leqq \frac{1}{a} \left( \int_0^{\frac{s\pi}{2}} \cos y dy - s \right) \leqq \frac{1}{a} \left(\frac{\pi}{2} - 1\right)s $$

中央の辺は $J - 1$ である。右辺に $s = a - [a]$ を代入して整理すると、

$$ \frac{1}{a} \left(\frac{\pi}{2} - 1\right) (a - [a]) = \left(\frac{\pi}{2} - 1\right) \frac{a - [a]}{a} = \left(\frac{\pi}{2} - 1\right) \left( 1 - \frac{[a]}{a} \right) $$

ゆえに、

$$ 0 \leqq \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\sin at| dt - 1 \leqq \left(\frac{\pi}{2} - 1\right) \left( 1 - \frac{[a]}{a} \right) $$

となり、不等式は示された。

解説

(1) は $|\sin x|$ のグラフが $\frac{\pi}{2}$ ごとに面積 $1$ の合同な「山」を作っていることを数式で厳密に示したものである。図形的な意味を把握しておくと見通しが良くなる。 (2) は微分法の応用としては標準的な不等式の証明である。左側の不等式は、2回微分を計算してグラフが上に凸であることを利用すると、増減表を書くよりも簡潔に記述できる。 (3) は前の小問の誘導に上手く乗る問題である。(1) と同じように積分区間を「$\frac{\pi}{2}$ の整数倍」の部分と「余りの小数部分」に分割する。その際、$[a]$ が奇数であることによって $|\sin x|$ が $|\cos y|$ へと変換され、(2) の不等式の形をそのまま作り出せるという秀逸な構成になっている。$s = a - [a]$ （小数部分）とおく発想が解答のキーポイントになる。