トップ› 東京工業大学› 1998年› 理系第3問

東京工業大学 1998年理系第3問解説

方針・初手

(1) は分数関数の合成である。まずは $n=1, 2, 3$ の場合を具体的に計算し、$f_n(t)$ の一般項を推測してから、数学的帰納法を用いて証明する。また、関数 $f(x)$ に代入できる値の条件（分母が $0$ にならないこと）から、$t$ が満たすべき条件を絞り込む。

(2) は (1) で求めた $f_n(t)$ の式を積分に代入し、定積分を計算してから極限をとる。積分計算自体は基本的な対数関数の積分であるが、極限を計算する際に $a=1$ の場合と $a>1$ の場合で式変形の結果が異なることに注意して、丁寧に場合分けを行う。

解法1

(1)

$f(x) = \frac{2x - 1}{x} = 2 - \frac{1}{x}$ である。具体的に $f_n(t)$ を計算すると、

$$ f_1(t) = f(t) = \frac{2t - 1}{t} $$

$$ f_2(t) = f(f_1(t)) = \frac{2 \cdot \frac{2t - 1}{t} - 1}{\frac{2t - 1}{t}} = \frac{2(2t - 1) - t}{2t - 1} = \frac{3t - 2}{2t - 1} $$

$$ f_3(t) = f(f_2(t)) = \frac{2 \cdot \frac{3t - 2}{2t - 1} - 1}{\frac{3t - 2}{2t - 1}} = \frac{2(3t - 2) - (2t - 1)}{3t - 2} = \frac{4t - 3}{3t - 2} $$

これらより、すべての自然数 $n$ に対して以下が成り立つと推測できる。

$$ f_n(t) = \frac{(n + 1)t - n}{nt - (n - 1)} $$

これを数学的帰納法で証明する。

(i)

$n=1$ のとき、推測した式に $n=1$ を代入すると $\frac{2t - 1}{t}$ となり、$f_1(t)$ と一致するため成立する。

(ii)

$n=k$ （$k$ は自然数）のとき、成立すると仮定する。すなわち、

$$ f_k(t) = \frac{(k + 1)t - k}{kt - (k - 1)} $$

このとき、$n=k+1$ について考えると、

$$ \begin{aligned} f_{k+1}(t) &= f(f_k(t)) \\ &= 2 - \frac{1}{f_k(t)} \\ &= 2 - \frac{kt - (k - 1)}{(k + 1)t - k} \\ &= \frac{2\{(k + 1)t - k\} - \{kt - (k - 1)\}}{(k + 1)t - k} \\ &= \frac{(k + 2)t - (k + 1)}{(k + 1)t - k} \end{aligned} $$

となり、$n=k+1$ のときも成立する。したがって、すべての自然数 $n$ について $f_n(t) = \frac{(n + 1)t - n}{nt - (n - 1)}$ が成り立つ。

ここで、$f_n(t)$ が帰納的に定義できるための条件を考える。$f_n(t) = f(f_{n-1}(t))$ を計算するためには、関数 $f(x)$ の分母が $0$ になってはならないため、$f_{n-1}(t) \neq 0$ がすべての自然数 $n$ に対して成り立つ必要がある。また、最初のステップとして $f_0(t) = t \neq 0$ も必要である。

$$ f_k(t) = 0 \iff (k + 1)t - k = 0 \iff t = \frac{k}{k + 1} $$

したがって、求める条件は $t \neq 0$ かつ、$k=1, 2, 3, \cdots$ について $t \neq \frac{k}{k + 1}$ である。これらはまとめて $t \neq \frac{k}{k + 1}$ （$k$ は $0$ 以上の整数）と表せる。

(2)

(1) の結果より、被積分関数は次のように変形できる。

$$ \begin{aligned} f_n(t) - 1 &= \frac{(n + 1)t - n}{nt - (n - 1)} - 1 \\ &= \frac{(n + 1)t - n - \{nt - (n - 1)\}}{nt - n + 1} \\ &= \frac{t - 1}{n(t - 1) + 1} \end{aligned} $$

ここで、$I_n = \int_{a}^{a+\frac{1}{n}} \frac{t - 1}{n(t - 1) + 1} dt$ とおく。被積分関数の分子の次数を下げる変形を行う。

$$ \begin{aligned} \frac{t - 1}{n(t - 1) + 1} &= \frac{1}{n} \cdot \frac{n(t - 1)}{n(t - 1) + 1} \\ &= \frac{1}{n} \left( 1 - \frac{1}{n(t - 1) + 1} \right) \end{aligned} $$

これを用いて $I_n$ を計算する。$a \ge 1$ および積分区間 $a \le t \le a+\frac{1}{n}$ より $t \ge 1$ であるから、$n(t - 1) + 1 > 0$ であり、対数関数の真数条件を満たし絶対値記号は不要である。

$$ \begin{aligned} I_n &= \int_{a}^{a+\frac{1}{n}} \frac{1}{n} \left( 1 - \frac{1}{n(t - 1) + 1} \right) dt \\ &= \frac{1}{n} \left[ t - \frac{1}{n} \log(n(t - 1) + 1) \right]_{a}^{a+\frac{1}{n}} \\ &= \frac{1}{n} \left\{ \left( a + \frac{1}{n} \right) - a \right\} - \frac{1}{n^2} \left\{ \log\left( n\left( a + \frac{1}{n} - 1 \right) + 1 \right) - \log(n(a - 1) + 1) \right\} \\ &= \frac{1}{n^2} - \frac{1}{n^2} \left\{ \log(n(a - 1) + 2) - \log(n(a - 1) + 1) \right\} \\ &= \frac{1}{n^2} \left( 1 - \log \frac{n(a - 1) + 2}{n(a - 1) + 1} \right) \end{aligned} $$

求める極限値は $\lim_{n \to \infty} n^2 I_n$ である。

$$ n^2 I_n = 1 - \log \frac{n(a - 1) + 2}{n(a - 1) + 1} $$

ここで $a$ の値によって極限が異なるため場合分けを行う。

（ア） $a > 1$ のとき

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{n(a - 1) + 2}{n(a - 1) + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{(a - 1) + \frac{2}{n}}{(a - 1) + \frac{1}{n}} = \frac{a - 1}{a - 1} = 1 $$

であるから、

$$ \lim_{n \to \infty} n^2 I_n = 1 - \log 1 = 1 $$

（イ） $a = 1$ のとき

$$ \frac{n(1 - 1) + 2}{n(1 - 1) + 1} = \frac{2}{1} = 2 $$

であるから、

$$ \lim_{n \to \infty} n^2 I_n = 1 - \log 2 $$

以上より、求める極限値は $a > 1$ のとき $1$、$a = 1$ のとき $1 - \log 2$ である。

解法2

(1) の別解

関数 $f(x) = \frac{2x - 1}{1 \cdot x + 0}$ の合成は、行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ の累乗と対応する。（一次分数変換）

行列 $A$ の特性方程式は

$$ \lambda^2 - 2\lambda + 1 = 0 \iff (\lambda - 1)^2 = 0 $$

ケーリー・ハミルトンの定理より $(A - I)^2 = O$ （$I$ は単位行列、$O$ は零行列）が成り立つ。これを用いて $A^n$ を二項定理により計算する。

$$ \begin{aligned} A^n &= \{I + (A - I)\}^n \\ &= I + n(A - I) + \frac{n(n - 1)}{2}(A - I)^2 + \cdots \\ &= I + n(A - I) \quad (\because (A - I)^2 = O \text{ より3項以降はすべて } O) \\ &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + n \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} n + 1 & -n \\ n & -n + 1 \end{pmatrix} \end{aligned} $$

したがって、$f_n(t)$ は次のように表される。

$$ f_n(t) = \frac{(n + 1)t - n}{nt + (-n + 1)} = \frac{(n + 1)t - n}{nt - (n - 1)} $$

これがすべての自然数 $n$ について帰納的に定義できる条件は、$f_0(t) = t \neq 0$ かつ、$k=1, 2, \cdots$ に対して $f_k(t)$ の計算時に分母が $0$ にならないことである。分母が $0$ になるのは $t = \frac{k - 1}{k}$ のときなので、求める条件は $t \neq \frac{k}{k + 1}$ （$k$ は $0$ 以上の整数）である。

解説

(1) の分数関数の合成は、具体例から推測して数学的帰納法で証明する手法が王道であり、最も安全である。解法2で示したような「行列を用いた一次分数変換」の知識があると、推測を飛ばして直接一般項を求めることができ、検算としても強力である。

(2) は積分の計算自体は標準的であるが、最後の極限計算で $a$ の値による場合分けに気づけるかが鍵となる。対数関数の真数部分 $\frac{n(a - 1) + 2}{n(a - 1) + 1}$ を見たときに、$a-1 = 0$ になるかどうかで $n \to \infty$ の挙動が決定的に変わることに着目するとよい。