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九州大学 1973年理系第6問解説

方針・初手

与えられた漸化式に従って積分計算を行い、一般項 $f_n(x)$ の形を具体的に書き出して規則性を推測する。その後、数学的帰納法を用いてその推測が正しいことを証明する。極限計算は等比数列の極限の基本事項を用いる。

解法1

(1)

与えられた漸化式

$$f_n(x) = \int_0^x \left( \frac{f_{n-1}(t)}{t} + t^{q-1} \right) dt \quad (n = 2, 3, \cdots)$$

を用いて順次計算する。 $f_1(x) = x^p$ であるから、

$$\begin{aligned} f_2(x) &= \int_0^x \left( \frac{f_1(t)}{t} + t^{q-1} \right) dt \\ &= \int_0^x \left( \frac{t^p}{t} + t^{q-1} \right) dt \\ &= \int_0^x (t^{p-1} + t^{q-1}) dt \\ &= \left[ \frac{1}{p} t^p + \frac{1}{q} t^q \right]_0^x \\ &= \frac{1}{p} x^p + \frac{1}{q} x^q \end{aligned}$$

次に $f_3(x)$ を求める。

$$\begin{aligned} f_3(x) &= \int_0^x \left( \frac{f_2(t)}{t} + t^{q-1} \right) dt \\ &= \int_0^x \left\{ \frac{1}{t} \left( \frac{1}{p} t^p + \frac{1}{q} t^q \right) + t^{q-1} \right\} dt \\ &= \int_0^x \left( \frac{1}{p} t^{p-1} + \frac{1}{q} t^{q-1} + t^{q-1} \right) dt \\ &= \int_0^x \left\{ \frac{1}{p} t^{p-1} + \left( \frac{1}{q} + 1 \right) t^{q-1} \right\} dt \\ &= \left[ \frac{1}{p^2} t^p + \frac{1}{q} \left( \frac{1}{q} + 1 \right) t^q \right]_0^x \\ &= \frac{1}{p^2} x^p + \left( \frac{1}{q^2} + \frac{1}{q} \right) x^q \end{aligned}$$

同様に $f_4(x)$ を求める。

$$\begin{aligned} f_4(x) &= \int_0^x \left( \frac{f_3(t)}{t} + t^{q-1} \right) dt \\ &= \int_0^x \left[ \frac{1}{t} \left\{ \frac{1}{p^2} t^p + \left( \frac{1}{q^2} + \frac{1}{q} \right) t^q \right\} + t^{q-1} \right] dt \\ &= \int_0^x \left\{ \frac{1}{p^2} t^{p-1} + \left( \frac{1}{q^2} + \frac{1}{q} \right) t^{q-1} + t^{q-1} \right\} dt \\ &= \int_0^x \left\{ \frac{1}{p^2} t^{p-1} + \left( \frac{1}{q^2} + \frac{1}{q} + 1 \right) t^{q-1} \right\} dt \\ &= \left[ \frac{1}{p^3} t^p + \frac{1}{q} \left( \frac{1}{q^2} + \frac{1}{q} + 1 \right) t^q \right]_0^x \\ &= \frac{1}{p^3} x^p + \left( \frac{1}{q^3} + \frac{1}{q^2} + \frac{1}{q} \right) x^q \end{aligned}$$

(2)

(1) の結果から、一般の自然数 $n$ に対して、

$$f_n(x) = \frac{1}{p^{n-1}} x^p + \left( \frac{1}{q^{n-1}} + \frac{1}{q^{n-2}} + \cdots + \frac{1}{q} \right) x^q \quad (n \ge 2)$$

と推測できる。

$q > 1$ であるから、初項 $\frac{1}{q}$、公比 $\frac{1}{q}$、項数 $n-1$ の等比数列の和を計算すると、

$$\frac{1}{q^{n-1}} + \frac{1}{q^{n-2}} + \cdots + \frac{1}{q} = \frac{\frac{1}{q} \left\{ 1 - \left(\frac{1}{q}\right)^{n-1} \right\}}{1 - \frac{1}{q}} = \frac{1 - \left(\frac{1}{q}\right)^{n-1}}{q - 1}$$

よって、すべての自然数 $n$ に対して、

$$f_n(x) = \left(\frac{1}{p}\right)^{n-1} x^p + \frac{1}{q-1} \left\{ 1 - \left(\frac{1}{q}\right)^{n-1} \right\} x^q \cdots (*)$$

が成り立つと予想される。

$n=1$ のとき、$(*)$ の右辺は

$$\left(\frac{1}{p}\right)^0 x^p + \frac{1}{q-1} \left\{ 1 - \left(\frac{1}{q}\right)^0 \right\} x^q = x^p$$

となり、$f_1(x) = x^p$ と一致するため、$n=1$ のときも $(*)$ の形で表せる。

この予想 $(*)$ がすべての自然数 $n$ で成り立つことを、数学的帰納法を用いて証明する。

(I) $n=1$ のとき上で確認した通り、成立する。

(II) $n=k$ ($k$ は自然数) のとき、$(*)$ が成り立つと仮定する。すなわち、

$$f_k(x) = \left(\frac{1}{p}\right)^{k-1} x^p + \frac{1}{q-1} \left\{ 1 - \left(\frac{1}{q}\right)^{k-1} \right\} x^q$$

このとき、$n=k+1$ について考えると、定義より

$$\begin{aligned} f_{k+1}(x) &= \int_0^x \left( \frac{f_k(t)}{t} + t^{q-1} \right) dt \\ &= \int_0^x \left[ \frac{1}{t} \left\{ \left(\frac{1}{p}\right)^{k-1} t^p + \frac{1}{q-1} \left( 1 - \left(\frac{1}{q}\right)^{k-1} \right) t^q \right\} + t^{q-1} \right] dt \\ &= \int_0^x \left[ \left(\frac{1}{p}\right)^{k-1} t^{p-1} + \frac{1}{q-1} \left\{ 1 - \left(\frac{1}{q}\right)^{k-1} \right\} t^{q-1} + t^{q-1} \right] dt \\ &= \int_0^x \left[ \left(\frac{1}{p}\right)^{k-1} t^{p-1} + \left\{ \frac{1}{q-1} - \frac{1}{q-1}\left(\frac{1}{q}\right)^{k-1} + 1 \right\} t^{q-1} \right] dt \\ &= \int_0^x \left[ \left(\frac{1}{p}\right)^{k-1} t^{p-1} + \left\{ \frac{q}{q-1} - \frac{1}{q-1}\left(\frac{1}{q}\right)^{k-1} \right\} t^{q-1} \right] dt \end{aligned}$$

これを積分すると、

$$\begin{aligned} f_{k+1}(x) &= \left[ \frac{1}{p}\left(\frac{1}{p}\right)^{k-1} t^p + \frac{1}{q} \left\{ \frac{q}{q-1} - \frac{1}{q-1}\left(\frac{1}{q}\right)^{k-1} \right\} t^q \right]_0^x \\ &= \left(\frac{1}{p}\right)^k x^p + \left\{ \frac{1}{q-1} - \frac{1}{q-1}\left(\frac{1}{q}\right)^k \right\} x^q \\ &= \left(\frac{1}{p}\right)^k x^p + \frac{1}{q-1} \left\{ 1 - \left(\frac{1}{q}\right)^k \right\} x^q \end{aligned}$$

となり、$n=k+1$ のときも $(*)$ は成り立つ。

(I), (II) より、すべての自然数 $n$ に対して $(*)$ が成り立つ。

(3)

$x$ を実数の定数とする。 (2) より、$f_n(x)$ は

$$f_n(x) = \left(\frac{1}{p}\right)^{n-1} x^p + \frac{1}{q-1} \left\{ 1 - \left(\frac{1}{q}\right)^{n-1} \right\} x^q$$

と表される。

$p, q$ は1より大きな自然数であるから、$p \ge 2, q \ge 2$ である。したがって、$0 < \frac{1}{p} < 1$, $0 < \frac{1}{q} < 1$ となるため、$n \to \infty$ のとき

$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{p}\right)^{n-1} = 0, \quad \lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{q}\right)^{n-1} = 0$$

である。

ゆえに、数列 $f_n(x)$ の極限値は

$$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} f_n(x) &= 0 \cdot x^p + \frac{1}{q-1} (1 - 0) x^q \\ &= \frac{1}{q-1} x^q \end{aligned}$$

解説

関数列の漸化式を解く典型的な問題である。(1) で具体的に書き下して規則性を見つけ、(2) で帰納法によって証明するという、誘導に沿った素直な構成になっている。(3) は定数 $p, q$ の条件（1より大きい自然数）から公比の絶対値が1未満であることを確認し、極限を求める。極限を求める際に $\lim_{n \to \infty} (1/p)^{n-1} = 0$ となる理由として、問題文の条件より $p > 1$ となることを一言添えることが重要である。