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東京工業大学 1998年理系第2問解説

方針・初手

長方形の4つの角を原点とする座標系などを考え、円 $A$ が1つの角に接するときの中心座標と半径を $x$ を用いて表す。円 $A$ に外接し、かつ性質 (P) を満たす（すなわち、いずれかの角に接する）円 $C$ の半径を $r$ とし、接する角ごとに中心間距離から $r$ と $x$ の関係式を立てる。得られた $r$ が性質 (P) の条件 $0 < r < \frac{a}{2}$ を満たす $x$ の範囲を調べ、それが4つ同時に存在する条件を求める。後半は、求めた4つの円の半径の大小を丁寧に比較し、2番目に大きいものを特定して面積の和の関数を最小化する。

解法1

(1)

長方形 $R$ の頂点を $(0,0), (a,0), (a,b), (0,b)$ とする。性質 (P) を持つ円は、長方形の内部にあり隣り合う2辺にだけ接することから、長方形の4つの角のいずれかに接し、その半径を $r$ とすると $0 < r < \frac{a}{2}$ を満たす（$2a > b > a$ より短辺の半分未満である必要があるため）。

対称性から、円 $A$ は角 $(0,0)$ に接すると仮定して一般性を失わない。円 $A$ の中心は $(x,x)$ であり、性質 (P) より $0 < x < \frac{a}{2}$ である。円 $A$ に外接する性質 (P) を持つ円 $C$ の半径を $r$ とし、接する角ごとに外接条件（中心間距離が $r+x$ に等しい）から $r$ を求める。

（i）角 $(0,0)$ に接する円の場合円 $C$ の中心は $(r,r)$ であり、中心間距離の条件は以下のようになる。

$$ (r-x)^2 + (r-x)^2 = (r+x)^2 $$

これを整理して解くと $r = (3 \pm 2\sqrt{2})x$ を得る。 $r_1 = (3-2\sqrt{2})x$ は $0 < x < \frac{a}{2}$ において常に $0 < r_1 < \frac{a}{2}$ を満たす。 $r_2 = (3+2\sqrt{2})x$ が条件を満たすのは、$r_2 < \frac{a}{2}$ より $x < \frac{3-2\sqrt{2}}{2}a$ のときである。

（ii）角 $(a,0)$ に接する円の場合円 $C$ の中心は $(a-r,r)$ であり、条件は以下のようになる。

$$ (a-r-x)^2 + (r-x)^2 = (r+x)^2 $$

整理すると $(a - (r+x))^2 = 4rx$ となり、$a - (r+x) = \pm 2\sqrt{rx}$ すなわち $(\sqrt{r} \pm \sqrt{x})^2 = a$ を得る。 $r > 0, x < \frac{a}{2}$ より $\sqrt{r} = \sqrt{a} - \sqrt{x}$ のみ適する。 $r_3 = (\sqrt{a} - \sqrt{x})^2$ が条件を満たすのは、$r_3 < \frac{a}{2}$ より $\sqrt{x} > \frac{2-\sqrt{2}}{2}\sqrt{a}$、すなわち $x > \frac{3-2\sqrt{2}}{2}a$ のときである。

（iii）角 $(0,b)$ に接する円の場合円 $C$ の中心は $(r,b-r)$ であり、（ii）と同様の計算から $r_4 = (\sqrt{b} - \sqrt{x})^2$ を得る。 $r_4 < \frac{a}{2}$ を解くと $\sqrt{x} > \sqrt{b} - \sqrt{\frac{a}{2}}$ より $x > b + \frac{a}{2} - \sqrt{2ab}$ のとき条件を満たす。

（iv）角 $(a,b)$ に接する円の場合円 $C$ の中心は $(a-r,b-r)$ であり、条件は以下のようになる。

$$ (a-r-x)^2 + (b-r-x)^2 = (r+x)^2 $$

$(a - (r+x))^2 + (b - (r+x))^2 = (r+x)^2$ と変形し、$X = r+x$ とおくと二次方程式 $X^2 - 2(a+b)X + a^2+b^2 = 0$ を得る。 $X = a+b \pm \sqrt{2ab}$ であり、$r < \frac{a}{2}, x < \frac{a}{2}$ より $X = r+x < a < a+b$ であるから $r+x = a+b-\sqrt{2ab}$ のみ適する。 $r_5 = a+b - \sqrt{2ab} - x$ が条件を満たすのは、$r_5 < \frac{a}{2}$ より $x > b + \frac{a}{2} - \sqrt{2ab}$ のときである。

以上より、$x = \frac{3-2\sqrt{2}}{2}a$ を境に（i）の $r_2$ と（ii）の $r_3$ の存在が入れ替わるため、常に2個の円が存在する。これに（iii）と（iv）の円が加わって合計4個になるのは $x > b + \frac{a}{2} - \sqrt{2ab}$ のときである。また $a < b < 2a$ より $b+\frac{a}{2}-\sqrt{2ab} < \frac{a}{2}$ は常に成り立つ。したがって求める条件は、

$$ b + \frac{a}{2} - \sqrt{2ab} < x < \frac{a}{2} $$

(2)

(1)の条件下で存在する4つの円の半径は $r_1, r_3, r_4, r_5$ である。これらの大小関係を調べる。

$r_3$ と $r_4$ について、

$$ r_4 - r_3 = (\sqrt{b}-\sqrt{x})^2 - (\sqrt{a}-\sqrt{x})^2 = (\sqrt{b}-\sqrt{a})(\sqrt{a}+\sqrt{b}-2\sqrt{x}) $$

$x < \frac{a}{2}$ より $2\sqrt{x} < \sqrt{2a} < \sqrt{a}+\sqrt{b}$ であるから、$r_3 < r_4$ である。

$r_4$ と $r_5$ について、

$$ r_5 - r_4 = a+b-\sqrt{2ab}-x - (\sqrt{b}-\sqrt{x})^2 = a - \sqrt{2ab} + 2\sqrt{bx} - 2x $$

これを $g(x)$ とおくと、$g''(x) = -\frac{\sqrt{b}}{2x\sqrt{x}} < 0$ より $g(x)$ は上に凸な関数である。定義域の両端において $g\left(\frac{a}{2}\right) = 0$、$g\left(b+\frac{a}{2}-\sqrt{2ab}\right) = 0$ となるため、区間内では常に $g(x) > 0$ となる。よって $r_4 < r_5$ である。

$r_1$ と $r_3$ について、

$$ r_3 - r_1 = (\sqrt{a}-\sqrt{x})^2 - (\sqrt{2}-1)^2 x = (\sqrt{a}-\sqrt{2x})(\sqrt{a}+(\sqrt{2}-2)\sqrt{x}) $$

$x < \frac{a}{2}$ より $\sqrt{a} > \sqrt{2x}$ であり、各因数は正となるため $r_1 < r_3$ である。

以上より $r_1 < r_3 < r_4 < r_5$ となり、4つの円のうち2番目に大きい円 $B$ の半径は $r_B = r_4 = (\sqrt{b}-\sqrt{x})^2$ である。円 $A$ と円 $B$ の面積の和 $S$ は、

$$ S = \pi \{ x^2 + (\sqrt{b}-\sqrt{x})^4 \} $$

ここで $t = \sqrt{x}$ とおき、$F(t) = t^4 + (\sqrt{b}-t)^4$ の増減を調べる。

$$ F'(t) = 4t^3 - 4(\sqrt{b}-t)^3 = 4(2t-\sqrt{b})(t^2-\sqrt{b}t+b) $$

$t^2-\sqrt{b}t+b = \left(t-\frac{\sqrt{b}}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}b > 0$ であるから、$F'(t) = 0$ となるのは $t = \frac{\sqrt{b}}{2}$、すなわち $x = \frac{b}{4}$ のときのみであり、ここで極小かつ最小となる。

この $x = \frac{b}{4}$ が(1)の条件の範囲に含まれるか確認する。 $b < 2a$ より $\frac{b}{4} < \frac{a}{2}$ は成り立つ。下限については、以下の同値変形を考える。

$$ \frac{b}{4} > b + \frac{a}{2} - \sqrt{2ab} \iff \sqrt{2ab} > \frac{3}{4}b + \frac{a}{2} \iff 2ab > \frac{9}{16}b^2 + \frac{3}{4}ab + \frac{a^2}{4} $$

これを整理すると $9b^2 - 20ab + 4a^2 < 0 \iff (9b-2a)(b-2a) < 0$ となる。 $a < b < 2a$ より $b-2a < 0$ かつ $9b-2a > 7a > 0$ であるため、この不等式は成立する。したがって $x = \frac{b}{4}$ は定義域に含まれる。

最小値は以下のように計算できる。

$$ S = \pi \left\{ \left(\frac{b}{4}\right)^2 + \left(\frac{b}{4}\right)^2 \right\} = \frac{\pi b^2}{8} $$

解説

(1)の円の半径を求める部分は、接する角に応じて中心の座標を設定し、中心間距離の式を愚直に解くことで立式できる。(2)は一見すると4つの半径の大小関係が複雑に見えるが、差をとって微分したり因数分解したりすることで、大小が完全に確定するよう美しく調整された問題である。「2番目に大きい」とは、面積が上から2番目のものを指する。