東北大学 2004年 理系 第3問 解説

方針・初手

等差数列と等比数列は、両端の値が与えられているので一般項をすぐに書ける。

まず

$$ x_k=1+\frac{k}{n},\qquad y_k=2^{k/n} $$

を求める。

すると $P(n)$ と $S(n)$ は直接計算できる。 また $Q(n)$ は対数を取ると和になり、$R(n)$ とともにリーマン和として極限を求められる。

解法1

等差数列 $x_0,x_1,\dots,x_n$ は $x_0=1,\ x_n=2$ であるから、公差は $\frac{1}{n}$ であり、

$$ x_k=1+\frac{k}{n}\qquad (k=0,1,\dots,n) $$

である。

また、等比数列 $y_0,y_1,\dots,y_n$ は $y_0=1,\ y_n=2$ であるから、公比を $r$ とすると

$$ r^n=2 $$

より

$$ r=2^{1/n},\qquad y_k=r^k=2^{k/n}\qquad (k=0,1,\dots,n) $$

となる。

以下、$\log$ は自然対数を表すものとする。

まず $P(n)$ について、

$$ \begin{aligned} P(n) &=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\left(1+\frac{k}{n}\right) \ &=\frac{1}{n}\left(n+\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n k\right) \ &=\frac{1}{n}\left(n+\frac{1}{n}\cdot\frac{n(n+1)}{2}\right) \ &=\frac{3n+1}{2n}. \end{aligned} $$

したがって

$$ \lim_{n\to\infty}P(n)=\frac32 $$

である。

次に $Q(n)$ について、$Q(n)>0$ であるから対数を取ると

$$ \log Q(n) =\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \log\left(1+\frac{k}{n}\right) $$

となる。これは関数 $\log(1+x)$ の区間 $[0,1]$ におけるリーマン和であるから、

$$ \lim_{n\to\infty}\log Q(n) =\int_0^1 \log(1+x),dx $$

である。

ここで $t=1+x$ とおくと、

$$ \begin{aligned} \int_0^1 \log(1+x),dx &=\int_1^2 \log t,dt \ &=\left(t\log t-t\right)_1^2 \ &=2\log2-1. \end{aligned} $$

よって

$$ \lim_{n\to\infty}Q(n) =\exp(2\log2-1) =\frac{4}{e} $$

である。

次に $R(n)$ について、

$$ R(n)=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n 2^{k/n} $$

である。これは関数 $2^x$ の区間 $[0,1]$ におけるリーマン和であるから、

$$ \lim_{n\to\infty}R(n) =\int_0^1 2^x,dx $$

となる。したがって

$$ \begin{aligned} \int_0^1 2^x,dx &=\left(\frac{2^x}{\log2}\right)_0^1 \ &=\frac{2-1}{\log2} \ &=\frac{1}{\log2}. \end{aligned} $$

よって

$$ \lim_{n\to\infty}R(n)=\frac{1}{\log2} $$

である。

最後に $S(n)$ について、

$$ \begin{aligned} S(n) &=\sqrt[n]{\prod_{k=1}^n 2^{k/n}} \ &=2^{\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n k} \ &=2^{\frac{1}{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}{2}} \ &=2^{\frac{n+1}{2n}}. \end{aligned} $$

したがって

$$ \lim_{n\to\infty}S(n)=2^{1/2}=\sqrt2 $$

である。

解説

この問題では、まず数列の一般項を正確に出すことが最優先である。

$P(n)$ は等差数列の平均、$S(n)$ は等比数列の積の形なので、そのまま計算できる。 一方、$Q(n)$ は積のままでは扱いにくいので、対数を取って和に直すのが典型である。 $R(n)$ は和そのものがリーマン和になっているので、積分に移せばすぐに極限が求まる。

つまり、この問題の本質は「数列の平均・積の極限を、一般項の明示とリーマン和で処理すること」にある。

答え

$$ \lim_{n\to\infty}P(n)=\frac32,\qquad \lim_{n\to\infty}Q(n)=\frac4e,\qquad \lim_{n\to\infty}R(n)=\frac{1}{\log2},\qquad \lim_{n\to\infty}S(n)=\sqrt2. $$