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東京工業大学 2014年理系第5問解説

方針・初手

点 $P_{k-1}$ における接線の方程式を求め、曲線 $C$ と連立して $x_k$ と $x_{k-1}$ の漸化式を導く。
3次方程式の解と係数の関係を利用すると、接点での重解の性質からスムーズに交点の $x$ 座標を求められる。
面積 $S_k$ については、3次関数と接線で囲まれた面積の公式（$\frac{1}{12}$ 公式）を活用し、計算量を減らす。

解法1

曲線 $C: y = x^3 + x^2 + 1$ を $f(x) = x^3 + x^2 + 1$ とおく。

導関数は $f'(x) = 3x^2 + 2x$ である。

点 $P_{k-1}(x_{k-1}, y_{k-1})$ における接線 $l$ の方程式は以下のようになる。

$$ y - y_{k-1} = (3x_{k-1}^2 + 2x_{k-1})(x - x_{k-1}) $$

直線 $l$ と曲線 $C$ の交点の $x$ 座標は、方程式 $f(x) = (3x_{k-1}^2 + 2x_{k-1})(x - x_{k-1}) + y_{k-1}$ の解である。$y_{k-1} = x_{k-1}^3 + x_{k-1}^2 + 1$ を代入して整理すると、次の方程式を得る。

$$ x^3 + x^2 - (3x_{k-1}^2 + 2x_{k-1})x + 2x_{k-1}^3 + x_{k-1}^2 = 0 $$

直線 $l$ は $x = x_{k-1}$ で曲線 $C$ と接するため、この3次方程式は $x = x_{k-1}$ を重解にもつ。

もう一つの解が点 $P_k$ の $x$ 座標である $x_k$ となる。

3次方程式の解と係数の関係より、3つの解の和について以下が成り立つ。

$$ x_{k-1} + x_{k-1} + x_k = -1 $$

したがって、数列 $\{x_k\}$ について次の漸化式が得られる。

$$ x_k = -2x_{k-1} - 1 $$

(1)

$P_0$ の座標は $(1, 3)$ なので、$x_0 = 1$ である。

上の漸化式より $x_1 = -2 \cdot 1 - 1 = -3$ となる。

面積 $S_1$ は、曲線 $C$ と接線 $l$ （$k=1$ のとき）で囲まれた部分の面積である。

交点の $x$ 座標は接点が $1$、もう一つの交点が $-3$ であり、被積分関数は定数倍を除き $(x - 1)^2 (x + 3)$ の形になる。面積公式 $\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)^2 (\beta - x) dx = \frac{1}{12} (\beta - \alpha)^4$ を用いて計算する。

$$ S_1 = \frac{1}{12} | 1 - (-3) |^4 = \frac{1}{12} \cdot 4^4 = \frac{256}{12} = \frac{64}{3} $$

(2)

漸化式 $x_k = -2x_{k-1} - 1$ を変形すると、以下のようになる。

$$ x_k + \frac{1}{3} = -2 \left( x_{k-1} + \frac{1}{3} \right) $$

数列 $\left\{ x_k + \frac{1}{3} \right\}$ は初項 $x_0 + \frac{1}{3} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$、公比 $-2$ の等比数列である。

したがって、一般項は次のように求まる。

$$ x_k + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} (-2)^k $$

ゆえに、$x_k$ は以下の通りとなる。

$$ x_k = \frac{4}{3} (-2)^k - \frac{1}{3} $$

(3)

面積 $S_k$ は、（1）と同様に $\frac{1}{12}$ 公式を用いて次のように表せる。

$$ S_k = \frac{1}{12} | x_{k-1} - x_k |^4 $$