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東京工業大学 2016年理系第5問解説

方針・初手

(1) 与えられた $x, y$ の式には $t$ と $3t$ の三角関数が含まれている。そのまま微分して和積の公式を用いるか、あるいは最初に3倍角の公式を用いて式を $\cos t$ や $\sin t$ だけに統一してから微分するかの2つの方針が考えられる。導関数の符号変化を調べ、増減表を作成して概形を把握する。

(2) (1)の増減表をもとに、$C$ と座標軸で囲まれた領域を特定する。曲線は $x$ 軸方向に途中で折り返す形になるため、上側の曲線と下側の曲線の差として面積を立式し、媒介変数 $t$ を用いた置換積分を行う。その際の積分区間の対応に注意する。

解法1

(1)

3倍角の公式 $\cos 3t = 4\cos^3 t - 3\cos t$ および $\sin 3t = 3\sin t - 4\sin^3 t$ を用いて、与えられた $x, y$ を変形する。

$$ \begin{aligned} x &= 3\cos t - (4\cos^3 t - 3\cos t) \\ &= 6\cos t - 4\cos^3 t \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} y &= 3\sin t - (3\sin t - 4\sin^3 t) \\ &= 4\sin^3 t \end{aligned} $$

それぞれ $t$ で微分する。

$$ \begin{aligned} \frac{dx}{dt} &= -6\sin t - 12\cos^2 t (-\sin t) \\ &= -6\sin t + 12\cos^2 t \sin t \\ &= 6\sin t (2\cos^2 t - 1) \\ &= 6\sin t \cos 2t \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \frac{dy}{dt} &= 12\sin^2 t \cos t \end{aligned} $$

$0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$ の範囲において、$\frac{dx}{dt} = 0$ となる $t$ を求める。$\sin t = 0$ または $\cos 2t = 0$ より、

$$ t = 0, \frac{\pi}{4} $$

同様に、$\frac{dy}{dt} = 0$ となる $t$ を求める。$\sin t = 0$ または $\cos t = 0$ より、

$$ t = 0, \frac{\pi}{2} $$

これをもとに増減表を作成する。

$t$	$0$	$\cdots$	$\frac{\pi}{4}$	$\cdots$	$\frac{\pi}{2}$
$\frac{dx}{dt}$	$0$	$+$	$0$	$-$	$-$
$x$	$2$	$\nearrow$	$2\sqrt{2}$	$\searrow$	$0$
$\frac{dy}{dt}$	$0$	$+$	$+$	$+$	$0$
$y$	$0$	$\nearrow$	$\sqrt{2}$	$\nearrow$	$4$

各点での座標は以下の通りである。

$t=0$ のとき $(x, y) = (2, 0)$
$t=\frac{\pi}{4}$ のとき $(x, y) = \left( 6 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} - 4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}}, 4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} \right) = (2\sqrt{2}, \sqrt{2})$
$t=\frac{\pi}{2}$ のとき $(x, y) = (0, 4)$

以上より、曲線 $C$ の概形は、点 $(2,0)$ を出発して右上に進み、点 $(2\sqrt{2}, \sqrt{2})$ で $x$ 座標が最大となって折り返し、左上に進んで点 $(0,4)$ に至るなめらかな曲線となる。

(2)

(1)の増減表から、曲線 $C$ は $2 \leqq x \leqq 2\sqrt{2}$ の区間において、$0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{4}$ に対応する部分（下側）と、$\frac{\pi}{4} \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$ に対応する部分（上側）が存在する。

求める面積 $S$ は、$y$ 軸と曲線、および $x$ 軸で囲まれた部分であるため、上側の曲線から下側の曲線を引いて積分することで求められる。

$$ S = \int_{0}^{2\sqrt{2}} (y \text{ の上側}) dx - \int_{2}^{2\sqrt{2}} (y \text{ の下側}) dx $$

これを媒介変数 $t$ による積分に置換する。上側の曲線は $x$ が $0$ から $2\sqrt{2}$ に動くとき $t$ は $\frac{\pi}{2}$ から $\frac{\pi}{4}$ に変化し、下側の曲線は $x$ が $2$ から $2\sqrt{2}$ に動くとき $t$ は $0$ から $\frac{\pi}{4}$ に変化する。

$$ \begin{aligned} S &= \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{4}} y \frac{dx}{dt} dt - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} y \frac{dx}{dt} dt \\ &= - \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} y \frac{dx}{dt} dt - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} y \frac{dx}{dt} dt \\ &= - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} y \frac{dx}{dt} dt \end{aligned} $$

(1)で求めた $y = 4\sin^3 t$ および $\frac{dx}{dt} = 6\sin t (1 - 2\sin^2 t)$ を代入する。

$$ \begin{aligned} S &= - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 4\sin^3 t \cdot 6\sin t (1 - 2\sin^2 t) dt \\ &= -24 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin^4 t - 2\sin^6 t) dt \end{aligned} $$

ここで、定積分公式 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n t dt$ （ウォリスの公式）を用いる。

$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 t dt = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{3}{16}\pi $$

$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^6 t dt = \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{5}{32}\pi $$

これらを代入して計算する。

$$ \begin{aligned} S &= -24 \left( \frac{3}{16}\pi - 2 \cdot \frac{5}{32}\pi \right) \\ &= -24 \left( \frac{3}{16}\pi - \frac{5}{16}\pi \right) \\ &= -24 \left( -\frac{2}{16}\pi \right) \\ &= 3\pi \end{aligned} $$

解法2

(1)

与えられた式をそのまま $t$ で微分する。

$$ \frac{dx}{dt} = -3\sin t + 3\sin 3t = 3(\sin 3t - \sin t) $$

和積の公式 $\sin A - \sin B = 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$ を用いる。

$$ \begin{aligned} \frac{dx}{dt} &= 3 \left( 2\cos\frac{3t+t}{2} \sin\frac{3t-t}{2} \right) \\ &= 6\cos 2t \sin t \end{aligned} $$

同様に $y$ を微分する。

$$ \frac{dy}{dt} = 3\cos t - 3\cos 3t = 3(\cos t - \cos 3t) $$

和積の公式 $\cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$ を用いる。

$$ \begin{aligned} \frac{dy}{dt} &= 3 \left( -2\sin\frac{t+3t}{2} \sin\frac{t-3t}{2} \right) \\ &= -6\sin 2t \sin(-t) \\ &= 6\sin 2t \sin t \end{aligned} $$

以後の増減の確認と概形の図示は解法1と同様である。

(2)

解法1と同様の議論により、求める面積 $S$ は以下の積分で表される。

$$ S = - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} y \frac{dx}{dt} dt $$

元の式および微分した式をそのまま代入する。

$$ \begin{aligned} y \frac{dx}{dt} &= (3\sin t - \sin 3t) \cdot 3(\sin 3t - \sin t) \\ &= 3 (3\sin t \sin 3t - 3\sin^2 t - \sin^2 3t + \sin t \sin 3t) \\ &= 3 (4\sin t \sin 3t - 3\sin^2 t - \sin^2 3t) \end{aligned} $$

積和の公式および半角の公式を用いて、各項を次数1の $\cos$ に直す。

$$ \begin{aligned} 4\sin t \sin 3t &= -2(\cos 4t - \cos 2t) = 2\cos 2t - 2\cos 4t \\ -3\sin^2 t &= -\frac{3(1 - \cos 2t)}{2} = -\frac{3}{2} + \frac{3}{2}\cos 2t \\ -\sin^2 3t &= -\frac{1 - \cos 6t}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 6t \end{aligned} $$

これらを足し合わせる。

$$ \begin{aligned} y \frac{dx}{dt} &= 3 \left( -2 + \frac{7}{2}\cos 2t - 2\cos 4t + \frac{1}{2}\cos 6t \right) \\ &= -6 + \frac{21}{2}\cos 2t - 6\cos 4t + \frac{3}{2}\cos 6t \end{aligned} $$

これを $0$ から $\frac{\pi}{2}$ まで積分する。$\cos 2kt$ ($k$ は自然数) の $0$ から $\frac{\pi}{2}$ までの定積分はすべて $0$ となるため、定数項のみが残る。

$$ \begin{aligned} S &= - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( -6 + \frac{21}{2}\cos 2t - 6\cos 4t + \frac{3}{2}\cos 6t \right) dt \\ &= - \left[ -6t + \frac{21}{4}\sin 2t - \frac{3}{2}\sin 4t + \frac{1}{4}\sin 6t \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\ &= - (-6) \cdot \frac{\pi}{2} \\ &= 3\pi \end{aligned} $$

解説

媒介変数表示された曲線の微積分における典型問題である。初手で3倍角の公式を用いて次数を上げる（解法1）か、積和・和積の公式を用いて処理する（解法2）かで計算の道筋が分かれるが、どちらでも完答できる計算力が求められる。

面積分においては、曲線が自己交差せずとも途中で折り返す形（$x$ 軸上を戻る形）になっているため、機械的に $\int y dx$ を計算するのではなく、領域の上端と下端の曲線を意識して式を立てる必要がある。置換積分の過程で現れる積分区間の逆転が、正の面積を与えるためにうまく機能することを確認したい。