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東京工業大学 2019年理系第4問解説

方針・初手

空間を $n$ 枚の平面で分割するときの領域の数 $T(H_1, \dots, H_n)$ は、平面を1枚ずつ追加したときの「領域の増分」を考えることで計算できる。 $k-1$ 枚の平面がある空間に $k$ 枚目の平面 $H_k$ を追加すると、$H_k$ は既存の $k-1$ 枚の平面と交わり、自身の面上に最大 $k-1$ 本の交線を持つ。この $k-1$ 本の直線によって $H_k$ が $c_{k-1}$ 個の平面領域に分割されるとき、空間領域の増分も $c_{k-1}$ 個となる。したがって、最大値からどれだけ領域数が減少するかは、追加される平面上の「直線の配置が一般の位置からどう崩れるか」を追うことで明らかになる。

解法1

(1)

最大値の導出

平面上の $m$ 本の直線による領域の分割数の最大値を $c_m$ とする。 $m$ 本目の直線は、既存の $m-1$ 本の直線と最大 $m-1$ 個の点で交わり、自身が $m$ 個の線分（半直線を含む）に分割される。これらが既存の平面領域を2分割するため、増分は $m$ である。よって、$c_m = c_{m-1} + m$ であり、$c_0 = 1$ より、

$$ c_m = 1 + \sum_{i=1}^m i = \frac{m^2 + m + 2}{2} $$

となる。空間の領域数 $T(H_1, \dots, H_n)$ が最大になるのは、どの2平面も平行でなく、どの3平面も同じ直線で交わらず、どの4平面も1点で交わらない（一般の位置にある）ときである。このとき、第 $k$ 枚目の平面 $H_k$ を追加したときの増分は常に $c_{k-1}$ となるので、求める最大値 $M(n)$ は、初期状態の空間1個に増分を足し合わせて、

$$ M(n) = 1 + \sum_{k=1}^n c_{k-1} = 1 + \sum_{k=1}^n \frac{(k-1)^2 + (k-1) + 2}{2} $$

$$ M(n) = 1 + \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n (k^2 - k + 2) $$

$$ M(n) = 1 + \frac{1}{2} \left( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n(n+1)}{2} + 2n \right) = \frac{n^3 + 5n + 6}{6} $$

これが $T(H_1, \dots, H_n)$ のとりうる値のうち最も大きいものである。

(2)

2番目に大きい値

最大値 $M(n)$ から領域数が少なくなるのは、平面の配置が一般の位置から崩れ、あるステップでの増分が最大値より小さくなるときである。領域数を最大値からちょうど $1$ だけ減らす（減少量 $\Delta = 1$）構成が存在するか考える。 $n \geqq 3$ のとき、特定の3枚の平面 $H_1, H_2, H_3$ の交線が互いに平行になる（三角柱をなす）ように配置する。このとき、$H_3$ を追加する際の面上には2本の平行な直線ができ、本来の最大増分 $c_2 = 4$ から $1$ 減って $3$ 個の領域しか増えない。残りの $H_4, \dots, H_n$ をこれらと一般の位置関係になるように追加すれば、以降の増分は最大値 $c_{k-1}$ を維持するため、トータルの減少量は $1$ となる。したがって、2番目に大きい値は、

$$ M(n) - 1 = \frac{n^3 + 5n + 6}{6} - 1 = \frac{n^3 + 5n}{6} $$

（なお $n=2$ の場合、最大値 $4$、平行な場合の $3$ となり、上式に $n=2$ を代入した値と一致する。）

(3)

3番目に大きい値

さらに領域数を減らす配置を考える。各崩れ方による最大値からのトータルの減少量 $\Delta$ は以下のようになる。

2平面が平行な場合: 追加するごとに増分が減り続け、$\Delta = n-1$ となる。
3平面が共軸（1直線で交わる）の場合: 同様に減少が伝播し、$\Delta = n-1$ となる。
局所的な崩れ（三角柱や、4平面が1点で交わる）の場合: その平面が追加されるステップのみ増分が $1$ 減少し、以降一般の位置なら減少は伝播しないため、$\Delta = 1$ となる。

減少量 $\Delta = 2$ を作るには、局所的な崩れ（減少量 $1$）を互いに独立に2組作る必要がある。 [i] $n \geqq 5$ のとき 5枚の平面のうち、$H_1, H_2, H_3$ で1つの三角柱を作り、別途 $H_1, H_4, H_5$ でもう1つの三角柱を作ることが可能である。これらが互いに一般の位置関係を保つように配置すれば、それぞれの三角柱の形成時に増分が $1$ ずつ減少し、合計の減少量 $\Delta = 2$ が実現できる。よって3番目に大きい値は $M(n) - 2 = \frac{n^3 + 5n - 6}{6}$ となる。

[ii] $n=3$ のとき 減少量 $\Delta$ の候補は、三角柱の $\Delta=1$、2平面平行の $\Delta=2$、3平面共軸の $\Delta=2$ である。したがって、とりうる値は $8, 7, 6, 4$ となり、3番目に大きい値は $6$ である。

[iii] $n=4$ のとき 局所的な崩れを独立に2組作るには最低でも平面が5枚必要であるため、$n=4$ では $\Delta = 2$ の構成が存在しない。 $n=4$ での減少量は、局所的な崩れの $\Delta=1$、または平行・共軸による $\Delta = 4-1 = 3$ となる。最大値は $M(4) = 15$ であり、減少量が $1, 3, \dots$ となるため、とりうる値は大きい順に $15, 14, 12, \dots$ となる。したがって、3番目に大きい値は $12$ である。

解説

空間の分割数は、オイラーの多面体定理の拡張やポアンカレの公式などを背景に持つ有名問題である。（1）は増分による漸化式を用いる典型的な処理である。（2）や（3）は、「一般の位置からどのように条件を崩せば領域が少しだけ減るか」を考える必要がある。平行や共軸といった条件は「以後のすべての平面分割に影響を与えて大きく領域を減らしてしまう」のに対し、三角柱や4平面の共点といった条件は「局所的に交点を消滅させ、最小限の減少に留められる」という性質の違いを見抜けるかが鍵となる。特に $n=4$ のときのみ $\Delta=2$ が作れないという点に気づけるかどうかが、数学的な厳密さを分けるポイントとなる。