東京工業大学 2023年 理系 第5問 解説

方針・初手

空間内の点から直線への距離を定式化し、条件式を立てることから始める。空間内の直線上の点を媒介変数（パラメータ）を用いて表し、任意の点との距離の2乗を平方完成することで、距離の最小値を計算する。(1) で得られた条件式を (2) でも活用して連立方程式を解き進める。

解法1

(1)

空間内の点 $P(x, y, z)$ から直線 $\text{AB}$、直線 $\text{BC}$ への距離の2乗をそれぞれ $d_1^2$、$d_2^2$ とする。

直線 $\text{AB}$ は点 $A(1, 0, 0)$ を通り、方向ベクトル $\vec{AB} = (0, 1, 1)$ を持つため、直線 $\text{AB}$ 上の点は媒介変数 $t$ を用いて $(1, t, t)$ と表せる。点 $P$ とこの点との距離の2乗を $f(t)$ とおくと、

$$ f(t) = (1-x)^2 + (t-y)^2 + (t-z)^2 $$

$$ = 2t^2 - 2(y+z)t + (x-1)^2 + y^2 + z^2 $$

$$ = 2\left(t - \frac{y+z}{2}\right)^2 + (x-1)^2 + y^2 + z^2 - \frac{(y+z)^2}{2} $$

$$ = 2\left(t - \frac{y+z}{2}\right)^2 + (x-1)^2 + \frac{1}{2}(y-z)^2 $$

となる。これが最小となる値が $d_1^2$ であるから、

$$ d_1^2 = (x-1)^2 + \frac{1}{2}(y-z)^2 $$

同様に、直線 $\text{BC}$ は点 $B(1, 1, 1)$ を通り、方向ベクトル $\vec{BC} = (-2, 0, -2)$ より $\vec{u}_{BC} = (1, 0, 1)$ に平行であるから、直線 $\text{BC}$ 上の点は媒介変数 $s$ を用いて $(s, 1, s)$ と表せる。点 $P$ とこの点との距離の2乗を $g(s)$ とおくと、

$$ g(s) = (s-x)^2 + (1-y)^2 + (s-z)^2 $$

$$ = 2s^2 - 2(x+z)s + x^2 + (y-1)^2 + z^2 $$

$$ = 2\left(s - \frac{x+z}{2}\right)^2 + x^2 + (y-1)^2 + z^2 - \frac{(x+z)^2}{2} $$

$$ = 2\left(s - \frac{x+z}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}(x-z)^2 + (y-1)^2 $$

となる。これが最小となる値が $d_2^2$ であるから、

$$ d_2^2 = \frac{1}{2}(x-z)^2 + (y-1)^2 $$

条件より $d_1^2 = d_2^2$ であるから、

$$ (x-1)^2 + \frac{1}{2}(y-z)^2 = \frac{1}{2}(x-z)^2 + (y-1)^2 $$

展開して整理すると、

$$ x^2 - 2x + 1 + \frac{1}{2}(y^2 - 2yz + z^2) = \frac{1}{2}(x^2 - 2xz + z^2) + y^2 - 2y + 1 $$

両辺を2倍してさらに整理する。

$$ 2x^2 - 4x + y^2 - 2yz + z^2 = x^2 - 2xz + z^2 + 2y^2 - 4y $$

$$ x^2 - y^2 - 4x + 4y - 2yz + 2xz = 0 $$

$$ (x-y)(x+y) - 4(x-y) + 2z(x-y) = 0 $$

$$ (x-y)(x+y+2z-4) = 0 $$

したがって、求める図形は、2つの平面 $x-y=0$ と $x+y+2z-4=0$ である。

(2)

求める球面の中心を $P(x,y,z)$、半径を $r$ とする。 球が4直線に接する条件は、中心 $P$ から各直線までの距離がすべて $r$ に等しいことである。 $P$ から直線 $\text{CD}$、直線 $\text{DA}$ への距離の2乗をそれぞれ $d_3^2$、$d_4^2$ とする。

直線 $\text{CD}$ は点 $D(-1, 0, 0)$ を通り、方向ベクトル $\vec{CD} = (0, -1, 1)$ を持つため、直線上の点は $(-1, u, -u)$ と表せる。$P$ との距離の2乗 $h(u)$ は、

$$ h(u) = (-1-x)^2 + (u-y)^2 + (-u-z)^2 $$

$$ = 2u^2 - 2(y-z)u + (x+1)^2 + y^2 + z^2 $$

$$ = 2\left(u - \frac{y-z}{2}\right)^2 + (x+1)^2 + \frac{1}{2}(y+z)^2 $$

よって距離の最小値の2乗は、

$$ d_3^2 = (x+1)^2 + \frac{1}{2}(y+z)^2 $$

直線 $\text{DA}$ は $y$ 軸・$z$ 軸に直交し $x$ 軸上にある直線（$y=0, z=0$）であるため、$P$ から直線 $\text{DA}$ への距離の2乗は直ちに求まる。

$$ d_4^2 = y^2 + z^2 $$

条件 $d_1^2 = d_2^2 = d_3^2 = d_4^2 = r^2$ より、必要な関係式を取り出す。 まず $d_3^2 = d_4^2$ より、

$$ (x+1)^2 + \frac{1}{2}(y+z)^2 = y^2 + z^2 $$

$$ 2(x+1)^2 + y^2 + 2yz + z^2 = 2y^2 + 2z^2 $$

$$ 2(x+1)^2 = y^2 - 2yz + z^2 = (y-z)^2 $$

$$ y-z = \pm \sqrt{2}(x+1) \quad \dots \text{①} $$

次に $d_1^2 = d_4^2$ より、

$$ (x-1)^2 + \frac{1}{2}(y-z)^2 = y^2 + z^2 $$

$$ 2(x-1)^2 + y^2 - 2yz + z^2 = 2y^2 + 2z^2 $$

$$ 2(x-1)^2 = y^2 + 2yz + z^2 = (y+z)^2 $$

$$ y+z = \pm \sqrt{2}(x-1) \quad \dots \text{②} $$

①および②の複号の組み合わせにより、以下の4つの場合が得られる。

(i)

$y-z = \sqrt{2}(x+1)$ かつ $y+z = \sqrt{2}(x-1)$ のとき 辺々を足し引きして整理すると、$y = \sqrt{2}x$、$z = -\sqrt{2}$

(ii)

$y-z = -\sqrt{2}(x+1)$ かつ $y+z = \sqrt{2}(x-1)$ のとき $y = -\sqrt{2}$、$z = \sqrt{2}x$

(iii)

$y-z = \sqrt{2}(x+1)$ かつ $y+z = -\sqrt{2}(x-1)$ のとき $y = \sqrt{2}$、$z = -\sqrt{2}x$

(iv)

$y-z = -\sqrt{2}(x+1)$ かつ $y+z = -\sqrt{2}(x-1)$ のとき $y = -\sqrt{2}x$、$z = \sqrt{2}$

さらに $d_1^2 = d_2^2$ の条件から、(1) より $x=y$ または $x+y+2z-4=0$ であるため、これらを組み合わせて $x, y, z$ を特定する。 半径は $r = \sqrt{y^2+z^2}$ で計算できる。

（ア） $x=y$ の場合

（i） のとき、$x = \sqrt{2}x$ より $x=0$。よって $y=0, z=-\sqrt{2}$。 $r = \sqrt{0^2 + (-\sqrt{2})^2} = \sqrt{2}$。

（ii） のとき、$x = -\sqrt{2}$。よって $y=-\sqrt{2}, z=-2$。 $r = \sqrt{(-\sqrt{2})^2 + (-2)^2} = \sqrt{6}$。

（iii） のとき、$x = \sqrt{2}$。よって $y=\sqrt{2}, z=-2$。 $r = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (-2)^2} = \sqrt{6}$。

（iv） のとき、$x = -\sqrt{2}x$ より $x=0$。よって $y=0, z=\sqrt{2}$。 $r = \sqrt{0^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2}$。

（イ） $x+y+2z-4=0$ の場合

（i） のとき、$y = \sqrt{2}x, z = -\sqrt{2}$ を代入すると、 $x + \sqrt{2}x - 2\sqrt{2} - 4 = 0$ $(1+\sqrt{2})x = 4 + 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)$ $x = 2\sqrt{2}$。よって $y=4, z=-\sqrt{2}$。 $r = \sqrt{4^2 + (-\sqrt{2})^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$。

（ii） のとき、$y = -\sqrt{2}, z = \sqrt{2}x$ を代入すると、 $x - \sqrt{2} + 2\sqrt{2}x - 4 = 0$ $(1+2\sqrt{2})x = 4 + \sqrt{2}$ $x = \frac{4+\sqrt{2}}{1+2\sqrt{2}} = \frac{(4+\sqrt{2})(2\sqrt{2}-1)}{(2\sqrt{2}+1)(2\sqrt{2}-1)} = \frac{8\sqrt{2}-4+2-\sqrt{2}}{8-1} = \sqrt{2}$。 よって $y=-\sqrt{2}, z=2$。 $r = \sqrt{(-\sqrt{2})^2 + 2^2} = \sqrt{6}$。

（iii） のとき、$y = \sqrt{2}, z = -\sqrt{2}x$ を代入すると、 $x + \sqrt{2} - 2\sqrt{2}x - 4 = 0$ $(1-2\sqrt{2})x = 4 - \sqrt{2}$ $x = \frac{4-\sqrt{2}}{1-2\sqrt{2}} = \frac{(4-\sqrt{2})(-1-2\sqrt{2})}{(-1+2\sqrt{2})(-1-2\sqrt{2})} = \frac{-4-8\sqrt{2}+\sqrt{2}+4}{1-8} = -\sqrt{2}$。 よって $y=\sqrt{2}, z=2$。 $r = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 2^2} = \sqrt{6}$。

（iv） のとき、$y = -\sqrt{2}x, z = \sqrt{2}$ を代入すると、 $x - \sqrt{2}x + 2\sqrt{2} - 4 = 0$ $(1-\sqrt{2})x = 4 - 2\sqrt{2} = -2\sqrt{2}(1-\sqrt{2})$ $x = -2\sqrt{2}$。よって $y=4, z=\sqrt{2}$。 $r = \sqrt{4^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$。

以上より、8組の中心と半径の組が得られる。

解説

空間ベクトルと図形の方程式を融合した典型的な難問である。点から直線への距離を求める際、外積を用いた距離公式を知っていればショートカットも可能だが、本解法のように直線上の点をパラメータ表示し、距離の2乗を平方完成して最小値を求める方針が最も確実で汎用性がある。

(2) では 4 本の直線への距離が等しいという条件から膨大な計算量になりそうに見えるが、$d_3 = d_4$ や $d_1 = d_4$ といった対称性の高い組から等式を立てることで、見事に $y$ と $z$ を $x$ の1次式で表すことができ、見通しよく解き進めることができる。平方根を外す際の複号を忘れないことと、条件漏れがないように最後まで丁寧に場合分けを行う処理能力が問われる。

答え

(1) 平面 $x-y=0$ および 平面 $x+y+2z-4=0$

(2) 以下の8組。 中心 $(0, 0, \sqrt{2})$, 半径 $\sqrt{2}$ 中心 $(0, 0, -\sqrt{2})$, 半径 $\sqrt{2}$ 中心 $(\sqrt{2}, \sqrt{2}, -2)$, 半径 $\sqrt{6}$ 中心 $(-\sqrt{2}, -\sqrt{2}, -2)$, 半径 $\sqrt{6}$ 中心 $(\sqrt{2}, -\sqrt{2}, 2)$, 半径 $\sqrt{6}$ 中心 $(-\sqrt{2}, \sqrt{2}, 2)$, 半径 $\sqrt{6}$ 中心 $(2\sqrt{2}, 4, -\sqrt{2})$, 半径 $3\sqrt{2}$ 中心 $(-2\sqrt{2}, 4, \sqrt{2})$, 半径 $3\sqrt{2}$