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大阪大学 2023年理系第5問解説

方針・初手

$b_n$ の定義式に着目し、$b_{n+1}$ と $b_n$ の関係式（漸化式）を導くことが最大のポイントである。$b_{n+1}$ は $b_n$ を用いて簡潔に表すことができ、ここから $b_n$ が7の倍数であるか否かによって場合分けを行うことで、確率 $p_n$ に関する漸化式を立てることができる。

解法1

(1)

$n=1$ のとき、定義より $b_1 = a_1$ である。

$a_1$ はさいころの目であるから、$1$ 以上 $6$ 以下の整数である。

したがって、$b_1$ が7の倍数になることはないため、確率は $0$ である。

よって、$p_1 = 0$ となる。

$n=2$ のとき、定義より $b_2 = a_1^1 a_1 + a_1^0 a_2 = a_1^2 + a_2$ である。

$b_2$ が7の倍数となる条件は、$a_1^2 + a_2 \equiv 0 \pmod 7$、すなわち $a_2 \equiv -a_1^2 \pmod 7$ である。

$a_1$ の値に対して、$-a_1^2 \pmod 7$ を調べると以下のようになる。

$a_1=1$ のとき $-1 \equiv 6 \pmod 7$
$a_1=2$ のとき $-4 \equiv 3 \pmod 7$
$a_1=3$ のとき $-9 \equiv 5 \pmod 7$
$a_1=4$ のとき $-16 \equiv 5 \pmod 7$
$a_1=5$ のとき $-25 \equiv 3 \pmod 7$
$a_1=6$ のとき $-36 \equiv 6 \pmod 7$

どの場合においても、$1$ 以上 $6$ 以下の範囲に合同な整数がただ1つ存在する。

よって、どの $a_1$ に対しても、条件を満たす $a_2$ がそれぞれ1通りに決まる。

さいころを2回投げるときの目の出方は $6^2 = 36$ 通りであり、条件を満たす $(a_1, a_2)$ の組は $6$ 通りである。

よって、$p_2 = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ となる。

(2)

まず、$b_{n+1}$ を $b_n$ を用いて表す。

$$ \begin{aligned} b_{n+1} &= \sum_{k=1}^{n+1} a_1^{n+1-k} a_k \\ &= \sum_{k=1}^{n} a_1^{n+1-k} a_k + a_1^0 a_{n+1} \\ &= a_1 \sum_{k=1}^{n} a_1^{n-k} a_k + a_{n+1} \\ &= a_1 b_n + a_{n+1} \end{aligned} $$

ここで、$b_{n+1}$ が7の倍数となる条件を考える。

$b_{n+1} \equiv 0 \pmod 7$ は $a_{n+1} \equiv -a_1 b_n \pmod 7$ と同値である。

法を7として、$b_n$ が $0$ と合同か否かで場合分けをする。

(i)

$b_n \equiv 0 \pmod 7$ のとき

$a_{n+1} \equiv 0 \pmod 7$ となる必要がある。

しかし、$a_{n+1}$ はさいころの目であり $1$ 以上 $6$ 以下の整数であるため、これを満たす $a_{n+1}$ は存在しない。

すなわち、この場合に $b_{n+1}$ が7の倍数になる確率は $0$ である。

(ii)

$b_n \not\equiv 0 \pmod 7$ のとき

$a_1$ は $1$ 以上 $6$ 以下の整数であり7の倍数ではない。また、7は素数であるため、$a_1$ と $b_n$ がともに7の倍数でないならば、その積 $a_1 b_n$ も7の倍数ではない。

したがって、$-a_1 b_n$ を7で割った余りは $1, 2, 3, 4, 5, 6$ のいずれかである。

$a_{n+1}$ は $1$ 以上 $6$ 以下の値を等確率でとるため、$a_{n+1} \equiv -a_1 b_n \pmod 7$ を満たす $a_{n+1}$ の目はただ1つ存在する。

すなわち、この場合に $b_{n+1}$ が7の倍数になる確率は $\frac{1}{6}$ である。

以上より、$p_n$ と $p_{n+1}$ の間には次の確率漸化式が成り立つ。

$$ p_{n+1} = 0 \cdot p_n + \frac{1}{6} \cdot (1 - p_n) $$

$$ p_{n+1} = -\frac{1}{6} p_n + \frac{1}{6} $$

この式を変形すると、次のように等比数列の形になる。

$$ p_{n+1} - \frac{1}{7} = -\frac{1}{6} \left( p_n - \frac{1}{7} \right) $$

数列 $\left\{ p_n - \frac{1}{7} \right\}$ は、初項 $p_1 - \frac{1}{7} = 0 - \frac{1}{7} = -\frac{1}{7}$、公比 $-\frac{1}{6}$ の等比数列である。

したがって、一般項は以下のように求まる。

$$ p_n - \frac{1}{7} = -\frac{1}{7} \left( -\frac{1}{6} \right)^{n-1} $$

$$ p_n = \frac{1}{7} \left\{ 1 - \left( -\frac{1}{6} \right)^{n-1} \right\} $$

解説

確率漸化式の典型問題であるが、総和記号で表された $b_n$ の定義式を正しく紐解き、$b_{n+1} = a_1 b_n + a_{n+1}$ という漸化式を見抜けるかが最大の鍵となる。

また、$b_{n+1} \pmod 7$ の振る舞いを考える際に、7が素数であることから「$a_1 \not\equiv 0$ かつ $b_n \not\equiv 0 \implies a_1 b_n \not\equiv 0 \pmod 7$」となる性質を用いている点も重要である。これにより、余りが $1$ から $6$ まで均等に分布することが保証されている。