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東京工業大学 2024年理系第5問解説

方針・初手

「方程式の解 $\alpha$ について $\alpha^n=1$ となる正の整数 $n$ が存在する」という条件から、解の絶対値が $|\alpha|=1$ となることに着目する。方程式の解が実数であるか虚数であるかで場合分けを行い、解と係数の関係や判別式を利用して整数 $a, b$ の候補を絞り込む。

解法1

方程式 $f(x) = x^2 + ax + b = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とする。

条件より、ある正の整数 $n_1, n_2$ が存在して $\alpha^{n_1} = 1, \beta^{n_2} = 1$ が成り立つ。このとき、$|\alpha|^{n_1} = 1, |\beta|^{n_2} = 1$ であるから、実数である絶対値について $|\alpha| = 1, |\beta| = 1$ が必要である。

方程式の解が実数か虚数（実数でない複素数）かで場合分けを行う。

（i）解が実数の場合

$|\alpha| = 1, |\beta| = 1$ かつ $\alpha, \beta$ は実数であるから、$\alpha, \beta \in \{1, -1\}$ である。考えられる解の組 $(\alpha, \beta)$ は、順序を区別しなければ $(1, 1), (1, -1), (-1, -1)$ の3通りである。それぞれを解にもつ2次方程式を構成すると以下のようになる。

$(\alpha, \beta) = (1, 1)$ のとき、$(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1 = 0$ より $(a, b) = (-2, 1)$ $(\alpha, \beta) = (1, -1)$ のとき、$(x-1)(x+1) = x^2 - 1 = 0$ より $(a, b) = (0, -1)$ $(\alpha, \beta) = (-1, -1)$ のとき、$(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 = 0$ より $(a, b) = (2, 1)$

これらの組は $a, b$ が整数という条件を満たし、また対応する解 $\pm 1$ は $n=1$ または $n=2$ のときに $\alpha^n = 1$ を満たすため適する。

（ii）解が虚数の場合

実数係数の方程式が虚数解をもつため、それらは互いに共役な複素数となる。これを $\alpha, \overline{\alpha}$ とする。このとき、方程式の判別式 $D = a^2 - 4b < 0$ である。解と係数の関係より、

$$ b = \alpha \overline{\alpha} = |\alpha|^2 $$

$|\alpha| = 1$ であるから、$b = 1$ を得る。これを $D < 0$ に代入すると、

$$ a^2 - 4 < 0 $$

$$ -2 < a < 2 $$

$a$ は整数であるから、$a = -1, 0, 1$ である。得られた組 $(a, b)$ について、実際に条件を満たすか確認する。

$a = -1, b = 1$ のとき方程式は $x^2 - x + 1 = 0$ となる。両辺に $x+1$ を掛けると $x^3 + 1 = 0$ すなわち $x^6 = 1$ を得る。よって、解 $\alpha$ について $n=6$ とすれば $\alpha^6 = 1$ となり適する。

$a = 0, b = 1$ のとき方程式は $x^2 + 1 = 0$ となる。$x^2 = -1$ より $x^4 = 1$ を得る。よって、解 $\alpha$ について $n=4$ とすれば $\alpha^4 = 1$ となり適する。

$a = 1, b = 1$ のとき方程式は $x^2 + x + 1 = 0$ となる。両辺に $x-1$ を掛けると $x^3 - 1 = 0$ すなわち $x^3 = 1$ を得る。よって、解 $\alpha$ について $n=3$ とすれば $\alpha^3 = 1$ となり適する。

以上より、虚数解をもつ場合の適する組は $(a, b) = (-1, 1), (0, 1), (1, 1)$ である。

（i）、（ii）より、求める整数の組 $(a, b)$ は上記のすべてを合わせたものになる。

解説

「1の累乗根」に関する典型的な問題である。$\alpha^n = 1$ ならば $|\alpha| = 1$ となる性質から、実数解と虚数解に分けてアプローチするのが簡明である。虚数解の場合は解と係数の関係と判別式を組み合わせることで、$a, b$ の値を強力に絞り込める。また、必要条件で絞った後は、十分性の確認（実際に $\alpha^n = 1$ を満たす $n$ が存在することを示す）を忘れないように記述したい。