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東京大学 1985年文系第3問解説

方針・初手

与えられた定積分の条件式から、未定定数 $a, b$ についての連立方程式を立てる。被積分関数 $f(x) = x^n + ax + b$ の積分には $x^n$ の項が含まれており、区間 $[-1, 1]$ や $[-1, 0]$ での定積分は $n$ の偶奇によって値の形が変わる。したがって、$n$ が偶数の場合と奇数の場合に分けて $f(x)$ を決定する。その後、$G(x)$ の導関数が $G'(x) = F(x)$ であること、さらに $F'(x) = f(x)$ であることを用いて増減表を考え、極値を求める。

解法1

条件より、与えられた2つの定積分を計算する。

$$ \begin{aligned} \int_{-1}^{1} f(x) dx &= \int_{-1}^{1} (x^n + ax + b) dx \\ &= \left[ \frac{x^{n+1}}{n+1} + \frac{a}{2}x^2 + bx \right]_{-1}^{1} \\ &= \left( \frac{1}{n+1} + \frac{a}{2} + b \right) - \left( \frac{(-1)^{n+1}}{n+1} + \frac{a}{2} - b \right) \\ &= \frac{1 - (-1)^{n+1}}{n+1} + 2b = 0 \quad \cdots (1) \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \int_{-1}^{0} f(x) dx &= \int_{-1}^{0} (x^n + ax + b) dx \\ &= \left[ \frac{x^{n+1}}{n+1} + \frac{a}{2}x^2 + bx \right]_{-1}^{0} \\ &= 0 - \left( \frac{(-1)^{n+1}}{n+1} + \frac{a}{2} - b \right) \\ &= -\frac{(-1)^{n+1}}{n+1} - \frac{a}{2} + b = 0 \quad \cdots (2) \end{aligned} $$

整数 $n \geqq 2$ の偶奇によって場合分けを行う。

(i) $n$ が偶数のとき

$n+1$ は奇数であるから、$(-1)^{n+1} = -1$ となる。 (1) より、

$$ \frac{1 - (-1)}{n+1} + 2b = 0 \iff \frac{2}{n+1} + 2b = 0 \iff b = -\frac{1}{n+1} $$

(2) より、

$$ -\frac{-1}{n+1} - \frac{a}{2} + \left( -\frac{1}{n+1} \right) = 0 \iff \frac{a}{2} = 0 \iff a = 0 $$

したがって、多項式 $f(x)$ は、

$$ f(x) = x^n - \frac{1}{n+1} $$

このとき、$F(x)$ は以下のようになる。

$$ \begin{aligned} F(x) &= \int_{-1}^{x} \left( t^n - \frac{1}{n+1} \right) dt \\ &= \left[ \frac{t^{n+1}}{n+1} - \frac{t}{n+1} \right]_{-1}^{x} \\ &= \frac{x^{n+1} - x}{n+1} - \left( \frac{(-1)^{n+1} - (-1)}{n+1} \right) \\ &= \frac{x(x^n - 1)}{n+1} - \frac{-1 + 1}{n+1} \\ &= \frac{x(x^n - 1)}{n+1} \end{aligned} $$

$G(x)$ の導関数は $G'(x) = F(x)$ である。$G'(x) = 0$ となる $x$ を求める。 $n$ は偶数であるため、実数範囲で $x^n - 1 = 0$ の解は $x = \pm 1$ である。よって、$G'(x) = 0$ を満たすのは $x = -1, 0, 1$ となる。導関数 $G'(x)$ の符号変化は以下のようになる。・$x < -1$ のとき、$x < 0$ かつ $x^n - 1 > 0$ より $G'(x) < 0$ ・$-1 < x < 0$ のとき、$x < 0$ かつ $x^n - 1 < 0$ より $G'(x) > 0$ ・$0 < x < 1$ のとき、$x > 0$ かつ $x^n - 1 < 0$ より $G'(x) < 0$ ・$1 < x$ のとき、$x > 0$ かつ $x^n - 1 > 0$ より $G'(x) > 0$

したがって、$G(x)$ は $x = -1, 1$ で極小、$x = 0$ で極大となる。それぞれの値は、

$$ G(-1) = \int_{-1}^{-1} F(t) dt = 0 $$

$$ \begin{aligned} G(0) &= \int_{-1}^{0} \frac{t^{n+1} - t}{n+1} dt \\ &= \frac{1}{n+1} \left[ \frac{t^{n+2}}{n+2} - \frac{t^2}{2} \right]_{-1}^{0} \\ &= -\frac{1}{n+1} \left( \frac{(-1)^{n+2}}{n+2} - \frac{(-1)^2}{2} \right) \end{aligned} $$

$n$ が偶数より $n+2$ も偶数となるため $(-1)^{n+2} = 1$ である。

$$ G(0) = -\frac{1}{n+1} \left( \frac{1}{n+2} - \frac{1}{2} \right) = \frac{n}{2(n+1)(n+2)} $$

$$ \begin{aligned} G(1) &= \int_{-1}^{1} \frac{t^{n+1} - t}{n+1} dt \end{aligned} $$

被積分関数のうち、$t^{n+1}$ は奇関数、$t$ も奇関数であるため、積分区間が $[-1, 1]$ であることから定積分は $0$ となる。したがって $G(1) = 0$ である。

(ii) $n$ が奇数のとき

$n+1$ は偶数であるから、$(-1)^{n+1} = 1$ となる。 (1) より、

$$ \frac{1 - 1}{n+1} + 2b = 0 \iff 2b = 0 \iff b = 0 $$

(2) より、

$$ -\frac{1}{n+1} - \frac{a}{2} + 0 = 0 \iff a = -\frac{2}{n+1} $$

したがって、多項式 $f(x)$ は、

$$ f(x) = x^n - \frac{2}{n+1}x $$

このとき、$F(x)$ は以下のようになる。

$$ \begin{aligned} F(x) &= \int_{-1}^{x} \left( t^n - \frac{2}{n+1}t \right) dt \\ &= \left[ \frac{t^{n+1}}{n+1} - \frac{t^2}{n+1} \right]_{-1}^{x} \\ &= \frac{x^{n+1} - x^2}{n+1} - \left( \frac{(-1)^{n+1} - (-1)^2}{n+1} \right) \\ &= \frac{x^2(x^{n-1} - 1)}{n+1} - \frac{1 - 1}{n+1} \\ &= \frac{x^2(x^{n-1} - 1)}{n+1} \end{aligned} $$

$G'(x) = F(x) = 0$ となる $x$ を求める。 $n \geqq 3$ の奇数より $n-1$ は正の偶数であるため、実数範囲で $x^{n-1} - 1 = 0$ の解は $x = \pm 1$ である。よって、$G'(x) = 0$ を満たすのは $x = -1, 0, 1$ となる。導関数 $G'(x)$ の符号変化について、$x^2 \geqq 0$ であるため、$x \neq 0$ における符号は $x^{n-1} - 1$ に依存する。・$x < -1$ のとき、$x^{n-1} - 1 > 0$ より $G'(x) > 0$ ・$-1 < x < 0$ のとき、$x^{n-1} - 1 < 0$ より $G'(x) < 0$ ・$0 < x < 1$ のとき、$x^{n-1} - 1 < 0$ より $G'(x) < 0$ ・$1 < x$ のとき、$x^{n-1} - 1 > 0$ より $G'(x) > 0$

$x=0$ の前後で導関数の符号は負のままで変化しないため、極値は持たない。したがって、$G(x)$ は $x = -1$ で極大、$x = 1$ で極小となる。それぞれの値は、

$$ G(-1) = \int_{-1}^{-1} F(t) dt = 0 $$

$$ \begin{aligned} G(1) &= \int_{-1}^{1} \frac{t^{n+1} - t^2}{n+1} dt \end{aligned} $$

$n$ は奇数より $n+1$ は偶数であるため、$t^{n+1}$ および $t^2$ はともに偶関数である。

$$ \begin{aligned} G(1) &= 2 \int_{0}^{1} \frac{t^{n+1} - t^2}{n+1} dt \\ &= \frac{2}{n+1} \left[ \frac{t^{n+2}}{n+2} - \frac{t^3}{3} \right]_{0}^{1} \\ &= \frac{2}{n+1} \left( \frac{1}{n+2} - \frac{1}{3} \right) \\ &= \frac{2}{n+1} \cdot \frac{3 - (n+2)}{3(n+2)} \\ &= -\frac{2(n-1)}{3(n+1)(n+2)} \end{aligned} $$

解説

微積分学の基本定理 $G'(x) = F(x)$ および $F'(x) = f(x)$ を素直に活用する問題である。定積分の計算において $n$ の偶奇で結果が変わる点に気づき、丁寧に場合分けを行うことが重要となる。また、導関数 $G'(x) = F(x) = 0$ を満たす $x$ が求まった後、必ず増減表をイメージして符号変化を確認しなければならない。特に $n$ が奇数の場合、$x=0$ は $F(x)=0$ の重解となり極値を持たないという罠があるため、機械的な処理に終始せず符号を調べる過程が不可欠である。