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東京大学 1995年文系第1問解説

方針・初手

与えられた不等式がすべての正の実数 $x, y$ に対して成り立つような実数 $k$ の最小値を求める問題である。

$x > 0, y > 0$ であるから $\sqrt{2x+y} > 0$ であり、不等式の両辺を $\sqrt{2x+y}$ で割ることで、

$$ k \geqq \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{2x + y}} $$

と同値変形できる。したがって、関数 $\frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{2x + y}}$ のすべての正の実数 $x, y$ における最大値を求めれば、それが $k$ の最小値となる。

式の形から、コーシー・シュワルツの不等式を適切に用いる解法と、分子・分母がともに $x, y$ についての同次式（各項の次数が揃っている式）であることに着目して1変数関数に帰着させる解法が考えられる。

解法1

コーシー・シュワルツの不等式

$$ (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) \geqq (ac + bd)^2 $$

を利用する。

目的の式 $\sqrt{x} + \sqrt{y}$ を作り出し、さらに $(c^2 + d^2)$ の部分が $2x + y$ になるように $a, b, c, d$ を定める。

$c = \sqrt{2x}, d = \sqrt{y}$ とおくと、$c^2 + d^2 = 2x + y$ となる。このとき、$ac = a\sqrt{2x} = \sqrt{x}$ となるように $a = \frac{1}{\sqrt{2}}$ とする。また、$bd = b\sqrt{y} = \sqrt{y}$ となるように $b = 1$ とする。

これらをコーシー・シュワルツの不等式に代入すると、

$$ \left\{ \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + 1^2 \right\} \left\{ (\sqrt{2x})^2 + (\sqrt{y})^2 \right\} \geqq \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{2x} + 1\sqrt{y} \right)^2 $$

整理すると、

$$ \left( \frac{1}{2} + 1 \right) (2x + y) \geqq (\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 $$

$$ \frac{3}{2}(2x + y) \geqq (\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 $$

$x > 0, y > 0$ であるから、両辺とも正である。両辺の平方根をとって、

$$ \sqrt{\frac{3}{2}} \sqrt{2x + y} \geqq \sqrt{x} + \sqrt{y} $$

$$ \frac{\sqrt{6}}{2} \sqrt{2x + y} \geqq \sqrt{x} + \sqrt{y} $$

等号が成立するのは、$ad = bc$ すなわち $\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{y} = 1\cdot\sqrt{2x}$ のときである。両辺を2乗して整理すると $y = 4x$ となる。 $x, y$ は正の実数であるから、$y = 4x$ を満たす組（例えば $x=1, y=4$）は存在し、等号は成立し得る。

したがって、すべての正の実数 $x, y$ に対して

$$ \sqrt{x} + \sqrt{y} \leqq \frac{\sqrt{6}}{2}\sqrt{2x + y} $$

が成り立ち、これを持続させる最小の実数 $k$ は $\frac{\sqrt{6}}{2}$ である。

解法2

式が $x$ と $y$ についての同次式であることに着目する。

$x > 0$ より、不等式の両辺を $\sqrt{x}$ で割ると、

$$ 1 + \sqrt{\frac{y}{x}} \leqq k \sqrt{2 + \frac{y}{x}} $$

となる。ここで、$t = \frac{y}{x}$ とおくと、$x > 0, y > 0$ より $t > 0$ である。不等式は

$$ 1 + \sqrt{t} \leqq k \sqrt{2 + t} $$

となる。$t > 0$ において $\sqrt{2+t} > 0$ であるから、

$$ k \geqq \frac{1 + \sqrt{t}}{\sqrt{t + 2}} $$

これがすべての $t > 0$ について成り立つような $k$ の最小値を求める。すなわち、$f(t) = \frac{1 + \sqrt{t}}{\sqrt{t + 2}}$ の $t > 0$ における最大値を求めればよい。

$f(t) > 0$ であるため、$f(t)$ が最大となるとき $\{f(t)\}^2$ も最大となる。計算を容易にするため、$\{f(t)\}^2$ の最大値を考える。

$$ \{f(t)\}^2 = \frac{(1 + \sqrt{t})^2}{t + 2} $$

ここで、$\sqrt{t} = u$ とおくと、$t > 0$ より $u > 0$ である。

$$ g(u) = \frac{(u + 1)^2}{u^2 + 2} $$

とおき、$u > 0$ における $g(u)$ の増減を調べる。商の微分法を用いると、

$$ \begin{aligned} g'(u) &= \frac{2(u + 1) \cdot 1 \cdot (u^2 + 2) - (u + 1)^2 \cdot 2u}{(u^2 + 2)^2} \\ &= \frac{2(u + 1) \{ (u^2 + 2) - u(u + 1) \}}{(u^2 + 2)^2} \\ &= \frac{2(u + 1)(2 - u)}{(u^2 + 2)^2} \end{aligned} $$

$u > 0$ において、$g'(u) = 0$ となるのは $u = 2$ のときのみである。増減は以下のようになる。

$0 < u < 2$ のとき、$g'(u) > 0$ より単調増加
$u = 2$ のとき、$g'(u) = 0$
$u > 2$ のとき、$g'(u) < 0$ より単調減少

したがって、$g(u)$ は $u = 2$ のとき最大値をとる。その最大値は、

$$ g(2) = \frac{(2 + 1)^2}{2^2 + 2} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} $$

$\{f(t)\}^2$ の最大値が $\frac{3}{2}$ であるから、$f(t)$ の最大値は $\sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$ である。（このとき、$\sqrt{t} = 2$ より $t = 4$ であり、条件 $t > 0$ を満たす。）

以上より、求める実数 $k$ の最小値は $\frac{\sqrt{6}}{2}$ である。

解説

不等式の証明や式の最大値・最小値を求める問題において、コーシー・シュワルツの不等式は非常に強力な手法である。本問のように「与式を係数つきの2乗の和の形とみなして、不等式を構成する」技術は難関大学の入試では頻出である。

一方、解法2で示した「同次式であれば比の置き換えで変数を減らす」という考え方も重要である。変数が2つ（$x, y$）ある状態から1変数（$t$）の関数に帰着させることで、数学IIIの微分の知識を用いて確実な処理が可能となる。さらに、平方根が含まれる微分の計算量を減らすため、あえて2乗してから微分するという工夫も実践的である。