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東京大学 1995年文系第2問解説

方針・初手

ベクトル $\vec{v}_k$ は偏角 $\frac{k\pi}{4}$ の単位ベクトルであり、これらを繋ぎ合わせることで平面上の点が定まる。（1）では、$\vec{v}_k$ が $k$ について周期 $8$ を持ち、互いに逆向きとなるベクトルのペアが存在することを利用して、始点から終点までの変位の総和が $\vec{0}$ になることを示す。（2）では、$P_0$ を原点として順に各頂点の座標を具体的に計算する。その後、得られた各頂点の座標を平面上にプロットし、8角形を囲む長方形を考えて四隅の直角三角形を切り取る方針で面積を求める。（3）は、（2）で得た面積の式と、座標から求まる線分の長さの式を連立させて $a, b$ を求める。式が $a^2, b^2, ab$ についての対称な形になるため、基本対称式を求める要領で処理する。

解法1

(1)

点 $P_0$ から $P_8$ までのベクトルの総和を考える。

$$ \overrightarrow{P_0 P_8} = \sum_{k=1}^8 \overrightarrow{P_{k-1}P_k} $$

与えられた条件より、奇数番目の辺と偶数番目の辺を分けて和をとると、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{P_0 P_8} &= \sum_{n=0}^3 \overrightarrow{P_{2n}P_{2n+1}} + \sum_{n=0}^3 \overrightarrow{P_{2n+1}P_{2n+2}} \\ &= a(\vec{v}_1 + \vec{v}_3 + \vec{v}_5 + \vec{v}_7) + b(\vec{v}_2 + \vec{v}_4 + \vec{v}_6 + \vec{v}_8) \end{aligned} $$

ここで、$\vec{v}_k = \left( \cos \frac{k\pi}{4}, \sin \frac{k\pi}{4} \right)$ であるから、

$$ \begin{aligned} \vec{v}_5 &= \left( \cos \frac{5\pi}{4}, \sin \frac{5\pi}{4} \right) = -\vec{v}_1 \\ \vec{v}_7 &= \left( \cos \frac{7\pi}{4}, \sin \frac{7\pi}{4} \right) = -\vec{v}_3 \end{aligned} $$

これより、$\vec{v}_1 + \vec{v}_3 + \vec{v}_5 + \vec{v}_7 = \vec{0}$ となる。同様に、

$$ \begin{aligned} \vec{v}_6 &= \left( \cos \frac{6\pi}{4}, \sin \frac{6\pi}{4} \right) = -\vec{v}_2 \\ \vec{v}_8 &= \left( \cos \frac{8\pi}{4}, \sin \frac{8\pi}{4} \right) = -\vec{v}_4 \end{aligned} $$

これより、$\vec{v}_2 + \vec{v}_4 + \vec{v}_6 + \vec{v}_8 = \vec{0}$ となる。したがって、$\overrightarrow{P_0 P_8} = a\vec{0} + b\vec{0} = \vec{0}$ となり、$P_8 = P_0$ であることが示された。

(2)

$P_0(0, 0)$ を起点とし、各点の座標を順に計算する。

$$ \begin{aligned} P_1 &= P_0 + a\vec{v}_1 = \left( \frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{a}{\sqrt{2}} \right) \\ P_2 &= P_1 + b\vec{v}_2 = \left( \frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{a}{\sqrt{2}} + b \right) \\ P_3 &= P_2 + a\vec{v}_3 = \left( 0, \sqrt{2}a + b \right) \\ P_4 &= P_3 + b\vec{v}_4 = \left( -b, \sqrt{2}a + b \right) \\ P_5 &= P_4 + a\vec{v}_5 = \left( -b - \frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{a}{\sqrt{2}} + b \right) \\ P_6 &= P_5 + b\vec{v}_6 = \left( -b - \frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{a}{\sqrt{2}} \right) \\ P_7 &= P_6 + a\vec{v}_7 = \left( -b, 0 \right) \end{aligned} $$

これらの座標から、8角形 $P_0 P_1 \cdots P_7$ は、辺 $P_0 P_7, P_3 P_4$ が $x$ 軸に平行（長さ $b$）、辺 $P_1 P_2, P_5 P_6$ が $y$ 軸に平行（長さ $b$）な図形であることがわかる。この8角形を囲む最小の長方形を考えると、その4頂点は $(a/\sqrt{2}, 0), (a/\sqrt{2}, \sqrt{2}a+b), (-b-a/\sqrt{2}, \sqrt{2}a+b), (-b-a/\sqrt{2}, 0)$ となる。この長方形は、縦の長さが $\sqrt{2}a+b$、横の長さが $a/\sqrt{2} - (-b-a/\sqrt{2}) = \sqrt{2}a+b$ の正方形であるため、その面積は $(\sqrt{2}a+b)^2$ である。

求める8角形の面積 $S$ は、この正方形から四隅の直角三角形を取り除いた面積となる。四隅の直角三角形はいずれも、直角を挟む2辺の長さがそれぞれ $\frac{a}{\sqrt{2}}$ である直角二等辺三角形である。 1つあたりの面積は $\frac{1}{2} \left( \frac{a}{\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{a^2}{4}$ であるから、これを4つ引けばよい。

$$ \begin{aligned} S &= (\sqrt{2}a+b)^2 - 4 \times \frac{a^2}{4} \\ &= \left( 2a^2 + 2\sqrt{2}ab + b^2 \right) - a^2 \\ &= a^2 + 2\sqrt{2}ab + b^2 \end{aligned} $$

(3)

（2）の結果と面積 $S = 7$ より、

$$ a^2 + 2\sqrt{2}ab + b^2 = 7 \quad \cdots \text{①} $$

また、$P_0(0, 0), P_4(-b, \sqrt{2}a+b)$ であるから、線分 $P_0 P_4$ の長さの2乗は、

$$ \begin{aligned} P_0 P_4^2 &= (-b - 0)^2 + (\sqrt{2}a+b - 0)^2 \\ &= b^2 + 2a^2 + 2\sqrt{2}ab + b^2 \\ &= 2a^2 + 2\sqrt{2}ab + 2b^2 \end{aligned} $$

$P_0 P_4 = \sqrt{10}$ より $P_0 P_4^2 = 10$ であるから、

$$ 2a^2 + 2\sqrt{2}ab + 2b^2 = 10 \iff a^2 + \sqrt{2}ab + b^2 = 5 \quad \cdots \text{②} $$

① $-$ ② より、

$$ \sqrt{2}ab = 2 \iff ab = \sqrt{2} $$

これを②に代入して、

$$ a^2 + 2 + b^2 = 5 \iff a^2 + b^2 = 3 $$

これらより、$a^2$ と $b^2$ の和と積が求まったため、$a^2$ と $b^2$ は $t$ についての2次方程式 $t^2 - 3t + 2 = 0$ の2つの解である。

$$ t^2 - 3t + 2 = 0 \iff (t-1)(t-2) = 0 $$

よって $t = 1, 2$ であり、$\{a^2, b^2\} = \{1, 2\}$ となる。 $a > 0, b > 0$ であるから、

$$ (a, b) = (1, \sqrt{2}), (\sqrt{2}, 1) $$

解説

ベクトルを用いて構成される多角形の幾何学的性質を調べる問題である。（1）では、$\vec{v}_k$ と $\vec{v}_{k+4}$ が互いに逆向きであることを利用すれば容易に証明できる。（2）では、座標を具体的に求めて図形の特徴を把握することが近道である。この8角形が大きな長方形の四隅を直角二等辺三角形で切り落とした形をしていることに気づけば、煩雑な積分や多角形の面積公式などを持ち出すことなく、簡潔な引き算のみで面積を求められる。（3）は、面積の式と距離の式を連立する方程式の処理である。差をとって $ab$ の値を求めることで、基本対称式の形に帰着させるのが定石である。