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東京大学 1999年文系第4問解説

方針・初手

（1）四面体の辺の数は 6 本であり，各辺の通電・非通電の組み合わせは $2^6=64$ 通りある。辺 $AB$ が通電する場合とそうでない場合で分けて数え上げるのが確実である。

（2）頂点 $B$ から $F$ へ電流が流れるためには，$B$ から $A$ へ流れる事象と，$E$ から $F$ へ流れる事象がともに起こる必要がある。各四面体の状況は独立であり，四面体の対称性から（1）の結果を利用できる。

解法1

(1)

四面体 $ABCD$ は 6 本の辺をもつ。各辺が電流を通すか通さないかの状態は互いに独立であり，全体のパターンは $2^6 = 64$ 通りある。これらは同様に確からしい。頂点 $A$ から $B$ に電流が流れる状態の数を数え上げる。

（i）辺 $AB$ が電流を通す場合

他の 5 本の辺の状態にかかわらず，直接 $A$ から $B$ へ電流が流れる。この状態は $2^5 = 32$ 通りある。

（ii）辺 $AB$ が電流を通さない場合

残りの 5 本の辺（$AC, AD, BC, BD, CD$）の状態（$2^5 = 32$ 通り）について，$A$ から $B$ へ電流が流れる場合を調べる。 $A$ に接続する辺 $AC, AD$ の通電状態でさらに分類する。

(ア)

$AC, AD$ がともに電流を通す場合（残りの辺の組み合わせは $2^3 = 8$ 通り）

電流が $C$ と $D$ の両方に到達する。ここから $B$ に電流が流れないのは，辺 $BC, BD$ がともに電流を通さない場合（辺 $CD$ は通してもしなくてもよいので $1 \times 1 \times 2 = 2$ 通り）である。よって，電流が流れるのは $8 - 2 = 6$ 通り。

(イ)

$AC$ は通すが $AD$ は通さない場合（残りの辺の組み合わせは $2^3 = 8$ 通り）

電流は $C$ のみに到達する。$C$ から $B$ へ流れるのは，辺 $BC$ が通す場合（4通り）と，辺 $BC$ が通さず辺 $CD, DB$ がともに通す場合（1通り）の合計 $4 + 1 = 5$ 通り。

(ウ)

$AC$ は通さないが $AD$ は通す場合（残りの辺の組み合わせは $2^3 = 8$ 通り）

（イ）と同様に考えて，$D$ から $B$ へ流れるのは $5$ 通り。

(エ)

$AC, AD$ がともに電流を通さない場合（残りの辺の組み合わせは $2^3 = 8$ 通り）

電流は $C, D$ のいずれにも到達しないため，$A$ から $B$ へは流れない。$0$ 通り。

したがって，（ii）のケースで電流が流れるのは $6 + 5 + 5 + 0 = 16$ 通り。

（i）,（ii）より，$A$ から $B$ へ電流が流れる状態は合計 $32 + 16 = 48$ 通りである。すべての事象は同様に確からしいので，求める確率は

$$ \frac{48}{64} = \frac{3}{4} $$

(2)

2つの四面体を頂点 $A$ と $E$ でつないだとき，頂点 $B$ から $F$ に電流が流れるのは，四面体 $ABCD$ において頂点 $B$ から $A$ へ電流が流れ，かつ，四面体 $EFGH$ において頂点 $E$ から $F$ へ電流が流れるときである。

四面体 $ABCD$ の各辺の条件は対称であるから，頂点 $B$ から $A$ へ電流が流れる確率は，（1）で求めた頂点 $A$ から $B$ へ電流が流れる確率と等しく，$\frac{3}{4}$ である。同様に，四面体 $EFGH$ においても頂点の条件は対称であるため，頂点 $E$ から $F$ へ電流が流れる確率は $\frac{3}{4}$ である。

これら2つの四面体内での通電は独立に起こる事象であるから，求める確率は

$$ \frac{3}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{16} $$

解説

（1）は確率計算の基本である「背反な事象に場合分けする」ことを丁寧に行えば解決する。辺の数が 6 本であり，全体事象が $2^6=64$ 通りと少ないため，状態を直接数え上げる手法が見通しが良く確実である。（2）は直列に接続された2つの独立した回路とみなせる。四面体の対称性に気づけば，どの2頂点間であっても電流が流れる確率は（1）と同じ値になることを直ちに利用できる。