東京大学 2024年 文系 第4問 解説

方針・初手

四角形が中心 $O$ を内部に含む確率を直接数えるより、含まない場合を数える方が見通しがよい。

$n$ は奇数なので、4点が中心を含まないことは「4点がある半円周上にすべて乗ること」と同値になる。これを重複なく数え上げる。

解法1

$n$ 個の頂点から異なる4点を選ぶ総数は

$$ {}_n \mathrm{C}_{4} = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24} $$

である。

次に余事象を数える。選んだ4点を頂点とする四角形が中心 $O$ を内部に含まないとする。このとき、4点はある半円周上にすべて存在する。

選ばれた4点のうち、円周を反時計回りに見て最も先頭にある点を $A$ とする。$n$ は奇数であるから、点 $A$ の反対側にちょうど向かい合う頂点は存在しない。したがって、点 $A$ から反時計回りに半円周上にある頂点は

$$ \frac{n-1}{2} $$

個である。

4点が同じ半円周上にあるためには、残りの3点がこの

$$ \frac{n-1}{2} $$

個の頂点から選ばれればよい。よって、点 $A$ を固定したときの選び方は

$$ {}_{\frac{n-1}{2}} \mathrm{C}_{3} $$

通りである。

また、この数え方では「反時計回りに見て最も先頭にある点」$A$ が一意に定まるから、重複はない。したがって、中心 $O$ を内部に含まない4点の組の総数は

$$ n \cdot {}_{\frac{n-1}{2}} \mathrm{C}_{3} $$

である。これを計算すると、

$$ \begin{aligned} n \cdot {}_{\frac{n-1}{2}} \mathrm{C}_{3} \\ &= n \cdot \frac{\frac{n-1}{2} \left( \frac{n-1}{2} - 1 \right) \left( \frac{n-1}{2} - 2 \right)}{6} \\ &= \frac{n(n-1)(n-3)(n-5)}{48} \end{aligned} $$

である。

したがって、中心 $O$ を内部に含まない確率は

$$ \frac{\frac{n(n-1)(n-3)(n-5)}{48}}{\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}} = \frac{n-5}{2(n-2)} $$

となる。

よって、求める確率 $p_n$ は

$$ \begin{aligned} p_n &= 1 - \frac{n-5}{2(n-2)} \\ &= \frac{n+1}{2(n-2)} \end{aligned} $$

である。

解説

円周上の点を選んでできる多角形が中心を含むかどうかは、余事象である「すべての点がある半円周上に入るかどうか」を考えると整理しやすい。

本問では $n$ が奇数なので、ちょうど反対側の頂点が存在せず、半円周の端の扱いで場合分けをしなくてよい。この条件が数え上げを簡潔にしている。

答え

$$ p_n = \frac{n+1}{2(n-2)} $$